Để chứng minh rằng hai số \(2n + 5\) và \(4n + 8\) là hai số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên \(n\), ta sẽ chứng minh rằng \( \text{gcd}(2n + 5, 4n + 8) = 1 \).

1. **Điều kiện ban đầu**:
\[
a = 2n + 5
\]
\[
b = 4n + 8
\]

2. **Chúng ta sẽ tính \( b - 2a \)**:
\[
b - 2a = (4n + 8) - 2(2n + 5)
\]
\[
= 4n + 8 - 4n - 10
\]
\[
= -2
\]

3. **Áp dụng tính chất của ước chung lớn nhất**:
Theo định lý về ước số chung lớn nhất, ta có:
\[
\text{gcd}(a, b) = \text{gcd}(a, b - 2a)
\]
Do đó:
\[
\text{gcd}(2n + 5, 4n + 8) = \text{gcd}(2n + 5, -2) = \text{gcd}(2n + 5, 2)
\]

4. **Chúng ta xem xét \(2n + 5 \mod 2\)**:
- Khi \(n\) là số tự nhiên, \(2n\) luôn là số chẵn, nên \(2n + 5\) luôn là số lẻ (vì chẵn + lẻ = lẻ).
- Do đó, \(2n + 5\) không thể chia hết cho 2.

5. **Kết luận**:
Vì \(2\) là số nguyên tố và \(2n + 5\) không chia hết cho 2, suy ra:
\[
\text{gcd}(2n + 5, 2) = 1
\]
Vậy:
\[
\text{gcd}(2n + 5, 4n + 8) = 1
\]

Vậy, hai số \(2n + 5\) và \(4n + 8\) là hai số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên \(n\).