Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương ta có:

a2+b2≥2ab, b2+c2≥2bc, c2+a2≥2ca 

Do đó: 2a2+b2+c2≥2(ab+bc+ca)=2.9=18⇒2P≥18⇒P≥9

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=3. Vậy MinP= 9 khi a=b=c=3

Vì a, b, c ≥1, nên (a−1)(b−1)≥0⇔ab−a−b+1≥0⇔ab+1≥a+b

Tương tự ta có bc+1≥b+c, ca+1≥c+a 

Do đó ab+bc+ca+3≥2(a+b+c)⇔a+b+c≤9+32=6

Mà  P=a2+b2+c2=a+b+c2−2ab+bc+ca=a+b+c2–18

⇒P≤36−18=18. Dấu bằng xảy ra khi : a=4;b=c=1b=4;a=c=1c=4;a=b=1

Vậy maxP= 18 khi : a=4;b=c=1b=4;a=c=1c=4;a=b=1