Để giải phương trình

\[
\frac{4}{x-1} - \frac{5}{x-2} = -3,
\]

ta thực hiện theo các bước sau:

1. **Tìm mẫu chung** của hai phân thức:
Mẫu chung là \((x-1)(x-2)\).

2. **Biến đổi phương trình**:
Nhân cả hai bên của phương trình với tự do mẫu chung:

\[
4(x-2) - 5(x-1) = -3(x-1)(x-2).
\]

3. **Giải ra từng vế**:
\[
4x - 8 - 5x + 5 = -3(x^2 - 3x + 2).
\]
Hoặc:
\[
-x - 3 = -3x^2 + 9x - 6.
\]

Chuyển hết sang một bên:
\[
3x^2 - 10x + 3 = 0.
\]

4. **Giải phương trình bậc hai**:
Sử dụng công thức nghiệm:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},
\]

với \(a = 3\), \(b = -10\), \(c = 3\):
\[
x = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3},
\]
\[
x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 36}}{6},
\]
\[
x = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{6},
\]
\[
x = \frac{10 \pm 8}{6}.
\]

Từ đây ta có hai nghiệm:
\[
x_1 = \frac{18}{6} = 3,
\]
\[
x_2 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}.
\]

5. **Kiểm tra nghiệm**:
Cần kiểm tra xem \(x = 3\) và \(x = \frac{1}{3}\) có làm cho mẫu không bằng 0 hay không:

- Đối với \(x = 3\): không có mẫu = 0.
- Đối với \(x = \frac{1}{3}\): cũng không có mẫu = 0.

Vậy nghiệm của phương trình là

\[
x = 3 \quad \text{và} \quad x = \frac{1}{3}.
\]