1) Tập xác định: ℝ \ {– 1}.

2) Sự biến thiên

Ÿ Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

Ta viết hàm số đã cho dưới dạng:  y=1−x−1x+1.

 limx→+∞y=−∞,  limx→−∞y=+∞.

 limx→−1−y=+∞, limx→−1+y=−∞. Do đó, đường thẳng x = – 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

 limx→+∞y−1−x=limx→+∞−1x+1=0,  limx→−∞y−1−x=limx→−∞−1x+1=0. Do đó, đường thẳng y = 1 – x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ÿ  y'=−x2−2xx+12;

y' = 0 ⇔ – x² – 2x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = – 2.

Ÿ Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (– 2; – 1) và (– 1; 0); nghịch biến trên mỗi khoảng (– ∞; – 2) và (0; + ∞).

Hàm số đạt cực đại tại x = 0, y_CĐ = 0; đạt cực tiểu tại x = – 2, y_CT = 4.  

3) Đồ thị

Ÿ Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O(0; 0).

Ÿ Đồ thị hàm số đi qua các điểm (0; 0), (– 2; 4),  −3; 92,  −4; 163 và  2; −43.

Ÿ Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(– 1; 2) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Vậy đồ thị hàm số  y=−x2x+1 được cho ở hình trên.