Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) và các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AB, AC. Lấy điểm M thuộc đoạn EB (M khác E và B). Kẻ đường thẳng qua D vuông góc với MD tại D, đường thẳng này cắt AC tại N.
a) Chứng minh tam giác DEM đồng dạng tam giác DFN.
b) Chứng minh tam giác DMN đồng dạng tam giác ACB.
c) Chứng minh MN2 = BM2 + CN2.
Bằng cách nhấp vào Đăng nhập, bạn đồng ý Chính sách bảo mật và Điều khoản sử dụng của chúng tôi. Nếu đây không phải máy tính của bạn, để đảm bảo an toàn, hãy sử dụng Cửa sổ riêng tư (Tab ẩn danh) để đăng nhập (New Private Window / New Incognito Window).
a) +) Xét tam giác BAC có E, D lần lượt là trung điểm của BA và BC nên suy ra ED là đường trung bình của tam giác BAC
Þ ED // AC và ED=AC2; BE=AB2
Mà BA ^ AC nên suy ra BA ^ ED
Suy ra MED^=90°
+) Xét tam giác CBA có F, D lần lượt là trung điểm của CA và CB nên suy ra FD là đường trung bình của tam giác BAC
Þ FD // AB và FD=AB2; CF=AC2
Mà BA ^ AC nên suy ra AC ^ FD
Suy ra NFD^=90°
+) Ta có:
ED // AC, FD // AB mà BA ^ AC nên suy ra ED ^ FD
⇒EDN^+NDF^=90° (1)
Mà MDN^=MDE^+EDN^=90° (2)
Từ (1) và (2) nên suy ra MDE^=NDF^ (Do cùng phụ với góc EDN^ )
Xét hai tam giác DDEM và DDFN có:
MDE^=NDF^ cmt MED^=NFD^ =90°⇒ ∆DEM ᔕ DDFN (g – g)
b) Do DDEM ᔕ DDFN (g – g)
⇒DMDN=DEDF=AC2AB2=ACAB
⇔DMAC=DNAB
Xét hai tam giác DDMN và DACB có:
DMAC=DNAB cmt MDN^=CAB^ =90°⇒ ∆DMN ᔕ DACB (c – g – c)
c) +) Ta có:
MN2 = AM2 + AN2 = (AB - BM)2 + (AC - CN)2
= AB2 - 2AB.BM + BM2 + AC2 - 2AC.CN + CN2
= AB(AB - 2BM) + AC(AC - 2CN) + BM2 + CN2
= AB(2BE - 2BM) + AC(2CF - 2CN) + BM2 + CN2
= 2AB(BE - BM) - 2AC(CN - CF) + BM2 + CN2
= 2AB.EM - 2AC.FN + BM2 + CN2 (3)
+) Lại có:
DDEM ᔕ DDFN (g.g)
⇒EMFN=DEDF=AC2AB2=ACAB
Û AB.EM = AC.FN (4)
Thay (4) vào (3) suy ra (3) trở thành
MN2 = BM2 + CN2 (đpcm).
Tham gia Cộng đồng Lazi trên các mạng xã hội | |
Fanpage: | https://www.fb.com/lazi.vn |
Group: | https://www.fb.com/groups/lazi.vn |
Kênh FB: | https://m.me/j/AbY8WMG2VhCvgIcB |
LaziGo: | https://go.lazi.vn/join/lazigo |
Discord: | https://discord.gg/4vkBe6wJuU |
Youtube: | https://www.youtube.com/@lazi-vn |
Tiktok: | https://www.tiktok.com/@lazi.vn |
Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi
Vui | Buồn | Bình thường |