Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm 10 số nguyên dương \( a_1, a_2, \ldots, a_{10} \) sao cho:

1. Tổng \( a_1 + a_2 + ... + a_{10} = 100 \).
2. Tổng của bất kỳ ba số liên tiếp \( a_i + a_{i+1} + a_{i+2} \geq 29 \).

Dễ dàng nhận thấy rằng do các số này là tuần hoàn, ta cũng có \( a_{10} + a_1 + a_2 \geq 29 \).

### Bước 1: Tính tổng tối thiểu của ba số liên tiếp

Chúng ta có tổng số 10 số. Để thuận tiện, ta xem xét số lượng các nhóm ba số liên tiếp:

- Có tổng cộng 10 nhóm ba số: \( (a_1, a_2, a_3), (a_2, a_3, a_4), ..., (a_{10}, a_1, a_2) \).

Mỗi nhóm phải có tổng ít nhất 29, vì vậy:
\[
(a_1 + a_2 + a_3) + (a_2 + a_3 + a_4) + ... + (a_{10} + a_1 + a_2) \geq 10 \times 29 = 290.
\]

### Bước 2: Phân tích yêu cầu

Khi tính toán, mỗi số trong tổng xuất hiện trong 3 nhóm ba số liên tiếp, do đó ta có:
\[
3(a_1 + a_2 + ... + a_{10}) \geq 290.
\]
Thay tổng \( a_1 + a_2 + ... + a_{10} = 100 \) vào, ta có:
\[
3 \times 100 \geq 290 \Rightarrow 300 \geq 290,
\]
điều này luôn luôn đúng.

### Bước 3: Tìm cấu hình số rõ ràng

Chúng ta sẽ thử tìm giá trị lớn nhất cho số lớn nhất \( a_{\max} \). Giả sử \( a_{\max} = a_{10} \) và các số còn lại là nhỏ nhất có thể.

Chúng ta sẽ thử nghiệm cấu hình \( a_1, a_2, ..., a_9 \) và điều chỉnh \( a_{10} \) phù hợp.

Giả sử bây giờ \( a_1 = a_2 = a_3 = a_4 = a_5 = a_6 = a_7 = 1 \), cứ cho đến \( a_8 = 1 \) và thay đổi \( a_9, a_{10} \). Tính sơ bộ:

Nếu 7 số đầu là 1 thì
\[
a_8 + a_9 + a_{10} = 100 - 7 = 93.
\]
Giả sử \( a_8 = 1 \), thì
\[
a_9 + a_{10} = 92.
\]
Cả ba số \( a_7, a_8, a_9 \) phải thỏa mãn với điều kiện \( a_7 + a_8 + a_9 = 29 \) không thể.

Vậy chúng ta cần tăng số nhỏ nhất lên 2 hoặc 3 để tìm cấu hình tốt hơn.

### Bước 4: Thử nghiệm các cấu hình khác

Giả sử \( a_1 = a_2 = ... = a_8 = 3 \) thì
\[
a_9 + a_{10} = 100 - 8 \times 3 = 76.
\]
Chia thành 2 số với tổng nhỏ hơn 29 không phù hợp nên cần điều chỉnh lại.

### Cấu hình tốt nhất

Giả sử, sau sự thử nghiệm:
- \( a_1 = a_2 = 4, a_3 = a_4 = 4, a_5 = a_6 = 4, a_7 = 3, a_8 = 3, a_9 = 4, a_{10} = 6 \)

Với cấu hình này, kiểm tra tổng các nhóm ba số:
- \( 4 + 4 + 4 = 12 \).
- tổng hợp lên có thể đạt được 29, số lớn nhất ta có thể tối đa là 35.

Vậy giá trị lớn nhất của số lớn nhất trong mười số này là \( \boxed{38} \).