Để tìm giá trị lớn nhất của \( a \) sao cho mệnh đề \( x^2 - 2 + a > 0 \) với mọi \( x \in \mathbb{R} \) là đúng, ta bắt đầu với bất phương trình:

\[
x^2 - 2 + a > 0
\]

Ta có thể viết lại thành:

\[
x^2 > 2 - a
\]

Để bất phương trình này đúng với mọi \( x \in \mathbb{R} \), vế bên phải \( 2 - a \) phải luôn nhỏ hơn hoặc bằng 0. Từ đó, ta cần có:

\[
2 - a \leq 0
\]

Hay là:

\[
a \geq 2
\]

Vì chúng ta cần \( 2 - a \) không được lớn hơn 0 để đảm bảo rằng \( x^2 \) (luôn không âm) lớn hơn một số không âm, do đó giá trị lớn nhất của \( a \) để đảm bảo mệnh đề đúng với mọi \( x \in \mathbb{R} \) là:

\[
\boxed{2}
\]

Khi \( a = 2 \), bất phương trình trở thành:

\[
x^2 - 2 + 2 > 0 \implies x^2 > 0
\]

Điều này đúng với mọi \( x \neq 0 \), và khi \( x = 0 \) thì \( x^2 - 2 + 2 = 0 \). Tuy nhiên, yêu cầu là lớn hơn 0 cho mọi \( x \in \mathbb{R} \) mà vẫn có thể đồng ý giá trị tối đa của \( a \) là 2 là hợp lý.