1) Vì AH là đường cao của ∆ ABC nên   = 90°.

Vì M là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng AD nên  AMB^ = 90°.

Suy ra   AHB^=AMB^ = 90°.

Do đó H và M là hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn AB dưới một góc bằng nhau và bằng 90°.

Vì vậy tứ giác ABHM nội tiếp.

2) Nối B với D và D với C.

Xét đường tròn (O) ta có:

  ABD^=ACD^= 90° (góc nội tiếp chắn đường kính AD).

 BD ⊥ AE, DC ⊥ AF

Xét ∆ADE vuông tại D, có DB là đường cao:

Áp dụng hệ thức lượng ta có: AB. AE = AD²

Xét ∆ADF vuông tại D, có DC là đường cao:

Áp dụng hệ thức lượng ta có:AC.AF = AD²

Do đó: AB. AE = AC.AF (đpcm).

3) Vì IK // CD nên BIK^=BCK^ =   (2 góc định vị) (1)

Xét đường tròn (O) ta có:  BSD^=BCD^ (góc nội tiếp chắn cung BD) (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác SBKI nội tiếp  IBK^=IBM^=ISK^(1)

Vì I là trung điểm BC  OI ⊥ BC   => OIB^ = 90°

OIB^=OMB^  = 90° và cùng chắn cung OB nên: Tứ giác OIMB nội tiếp

 IOM^=IBM^ (2)

Từ (1) và (2) suy ra:  IOM^=ISK^

 Tứ giác OISD nội tiếp  => O, I, S, D thuộc một đường tròn (3)

Vì OIQ^=ODQ^  = 90° và cùng chắn cung OQ nên: Tứ giác OIDQ nội tiếp O, I, D, Q thuộc một đường tròn (4)

Từ (3) và (4) suy ra: O, I, D, Q, S thuộc một đường tròn

=> Tứ giác OSQD nội tiếp

=>  OSQ^=ODQ^ = 90°

=>OSQ^+ODQ^ = 180°

=> OSQ^ = 180° − 90° = 90°

=> OS ⊥ SQ

=>SQ là tiếp tuyến (O) (đpcm)