Để giải phương trình \( \frac{x + 5}{x - 1} - \frac{x - 1}{x + 3} = 1 \), trước tiên, chúng ta có thể tìm một mẫu số chung để đưa mọi thứ về cùng một cơ số. Mẫu số chung của hai phân số này là \( (x - 1)(x + 3) \).

Ta tiến hành biến đổi phương trình như sau:

\[
\frac{x + 5}{x - 1} - \frac{x - 1}{x + 3} = 1
\]

Đưa mọi hạng tử về mẫu số chung:

\[
\frac{(x + 5)(x + 3) - (x - 1)(x - 1)}{(x - 1)(x + 3)} = 1
\]

Giải thích từng phần:

1. Tính \( (x + 5)(x + 3) = x^2 + 3x + 5x + 15 = x^2 + 8x + 15 \).
2. Tính \( (x - 1)(x - 1) = (x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1 \).

Thay vào phương trình trên:

\[
\frac{x^2 + 8x + 15 - (x^2 - 2x + 1)}{(x - 1)(x + 3)} = 1
\]

Tiến hành tính toán biểu thức trong tử số:

\[
x^2 + 8x + 15 - x^2 + 2x - 1 = 10x + 14
\]

Vậy phương trình trở thành:

\[
\frac{10x + 14}{(x - 1)(x + 3)} = 1
\]

Nhân chéo:

\[
10x + 14 = (x - 1)(x + 3)
\]

Giải thích \( (x - 1)(x + 3) \):

\[
(x - 1)(x + 3) = x^2 + 3x - x - 3 = x^2 + 2x - 3
\]

Vậy phương trình có dạng:

\[
10x + 14 = x^2 + 2x - 3
\]

Chuyển hết sang một bên để thu về phương trình bậc 2:

\[
0 = x^2 + 2x - 3 - 10x - 14
\]

Sắp xếp lại:

\[
0 = x^2 - 8x - 17
\]

Phương trình bậc 2 này có dạng:

\[
x^2 - 8x - 17 = 0
\]

Áp dụng công thức nghiệm:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-17)}}{2 \cdot 1}
\]

Tính \( b^2 - 4ac \):

\[
64 + 68 = 132
\]

Vậy:

\[
x = \frac{8 \pm \sqrt{132}}{2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{33}}{2} = 4 \pm \sqrt{33}
\]

Tóm lại, nghiệm của phương trình là:

\[
x = 4 + \sqrt{33} \quad \text{hoặc} \quad x = 4 - \sqrt{33}
\]