Bài tập  /  Bài đang cần trả lời

Cho parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = 4x - m - 1.\) 1) Tìm tọa độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) khi \(m = 2.\) 2) Tìm giá trị của tham số \(m\) để đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ là \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn giá trị \({x_1},\,\,{x_2}\) bằng độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài đường cao ứng với cạnh huyền là \(h = \frac{1}{{\sqrt 5 }}.\)

Cho parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = 4x - m - 1.\)

1) Tìm tọa độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) khi \(m = 2.\)

2) Tìm giá trị của tham số \(m\) để đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ là \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn giá trị \({x_1},\,\,{x_2}\) bằng độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài đường cao ứng với cạnh huyền là \(h = \frac{1}{{\sqrt 5 }}.\)
1 trả lời
Hỏi chi tiết
15
0
0
Tôi yêu Việt Nam
12/09 21:23:57

1) Với \(m = 2\) thì \(\left( d \right)\) có dạng \(y = 4x - 3.\)

Gọi \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là tọa độ giao điểm (nếu có) của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right),\) khi đó ta có:

\({y_0} = x_0^2\) và \({y_0} = 4{x_0} - 3.\)

Suy ra \(x_0^2 = 4{x_0} - 3\) hay \(x_0^2 - 4{x_0} + 3 = 0.\)

Số giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) là số nghiệm của phương trình \(x_0^2 - 4{x_0} + 3 = 0.\,\,\,\left( 1 \right)\)

Ta có \(a + b + c = 1 + \left( { - 4} \right) + 3 = 0\) nên phương trình trên có hai nghiệm là \({x_0} = 1;\,\,{x_0} = 3.\)

⦁ Với \({x_0} = 1\) thay vào \({y_0} = x_0^2,\) ta có \({y_0} = {1^2} = 1.\) Suy ra \(A\left( {1;\,\,1} \right).\)

⦁ Với \({x_0} = 3\) thay vào \({y_0} = x_0^2,\) ta có \({y_0} = {3^2} = 9.\) Suy ra \(B\left( {3;\,\,9} \right).\)

Vậy với \(m = 2\) thì toạ độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) là \(A\left( {1;\,\,1} \right)\) và \(B\left( {3;\,\,9} \right).\)

2) Gọi \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là tọa độ giao điểm (nếu có) của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right),\) khi đó ta có:

\({y_0} = x_0^2\) và \({y_0} = 4{x_0} - m - 1.\)

Suy ra \(x_0^2 = 4{x_0} - m - 1\) hay \(x_0^2 - 4{x_0} + m + 1 = 0.\)

Số giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) là số nghiệm của phương trình \(x_0^2 - 4{x_0} + m + 1 = 0.\,\,\,\left( 2 \right)\)

Ta có: \({\rm{\Delta '}} = {\left( { - 2} \right)^2} - \left( {m + 1} \right) = 3 - m.\)

Để \(\left( P \right)\) cắt \(\left( d \right)\) tại 2 điểm phân biệt hoành độ là \({x_1},\,\,{x_2}\) thì phương trình \(\left( 2 \right)\) phải có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2},\) tức là \(\Delta ' > 0,\) suy ra \(3 - m > 0\) nên \(m < 3.\)

Với \(m < 3,\) áp dụng Viète, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 4}\\{{x_1} \cdot {x_2} = m + 1.}\end{array}} \right.\)

Để \({x_1},\,\,{x_2}\) là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông thì \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} > 0\\{x_1}{x_2} > 0\end{array} \right.,\) suy ra  nên \(m >  - 1.\)

Kết hợp điều kiện \(m < 3,\) ta được \[ - 1 < m < 3.\]

Chứng minh bổ đề: Cho tam giác vuông có độ dài cạnh huyền là \(a,\) độ dài hai cạnh góc vuông là \(b,\,\,c\) và độ dài đường cao kẻ từ đỉnh đến cạnh huyền bằng \(a.\) Khi đó:

\(\frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}.\)

 

Áp dụng hệ thức đã chứng minh ở bổ đề trên, khi độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài đường cao ứng với cạnh huyền là \(h = \frac{1}{{\sqrt 5 }},\) thì ta có:

\(\frac{1}{{x_1^2}} + \frac{1}{{x_2^2}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{1}{{\sqrt 5 }}} \right)}^2}}} = 5\) nên \(\frac{{x_1^2 + x_2^2}}{{{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^2}}} = 5\)

Suy ra \(x_1^2 + x_2^2 = 5{\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2}\)

 \({\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 5{\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2}\)

Do đó, ta có: \({4^2} - 2\left( {m + 1} \right) = 5{\left( {m + 1} \right)^2}\)

\(5{m^2} + 12m - 9 = 0\)

\(m =  - 3\) (không thỏa mãn) hoặc \(m = \frac{3}{5}\) (thỏa mãn).

Vậy với \(m = \frac{3}{5}\) thoả mãn bài toán.

Mở khóa để xem toàn bộ nội dung trả lời

(?)
Bạn đã đạt đến giới hạn của mình. Bằng cách Đăng ký tài khoản, bạn có thể xem toàn bộ nội dung trả lời
Cải thiện điểm số của bạn bằng cách đăng ký tài khoản Lazi.
Xem toàn bộ các câu trả lời, chat trực tiếp 1:1 với đội ngũ Gia sư Lazi bằng cách Đăng nhập tài khoản ngay bây giờ
Tôi đã có tài khoản? Đăng nhập

Bạn hỏi - Lazi trả lời

Bạn muốn biết điều gì?

GỬI CÂU HỎI
Học tập không giới hạn cùng học sinh cả nước và AI, sôi động, tích cực, trải nghiệm
Bài tập liên quan
Bài tập Toán học Lớp 9 mới nhất
Trắc nghiệm Toán học Lớp 9 mới nhất

Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi

Vui Buồn Bình thường

Học ngoại ngữ với Flashcard

×
Trợ lý ảo Trợ lý ảo
×
Gia sư Lazi Gia sư