5²ⁿ⁺¹.2ⁿ⁺² + 3ⁿ⁺².2²ⁿ⁺¹ = 5²ⁿ.5.2ⁿ.2²+3ⁿ.3².2²ⁿ.2

= 25²ⁿ.2ⁿ.5.4 + 3ⁿ.4ⁿ.9.2

= 50ⁿ.20 + 12ⁿ.18

50 đồng dư với 12 (mod 38)

Do đó, 50ⁿ đồng dư với 12ⁿ (mod 38)

Do đó, 50ⁿ.20 + 12ⁿ.18 đồng dư với 12ⁿ.20 + 12ⁿ.18 = 12ⁿ.38 đồng dư với 0 (mod 38)

Vậy 5²ⁿ⁺¹.2ⁿ⁺² + 3ⁿ⁺².2²ⁿ⁺¹ chia hết cho 38.