Lời giải:

a) Gọi O là giao điểm của AA' và BB'.

Xét tam giác OA'B' có AB // A'B', theo định lý Thales, ta có:

\(\frac{{OA'}} = \frac{{OB'}} = \frac{{A'B'}} = \frac{1}{2}\).

Từ đó suy ra A, B lần lượt là trung điểm của OA' và OB'.

Gọi C" là giao điểm của BC và OC'. Vì BC // B'C' nên BC" // B'C'.

Xét tam giác OB'C' có BC" // B'C' và B là trung điểm của OB' nên BC" là đường trung bình của tam giác OB'C'. Suy ra BC" = \(\frac{1}{2}\)B'C' và C" là trung điểm của OC'.

Mặt khác theo giả thiết ta có BC = \(\frac{1}{2}\)B'C'. Do vậy C" trùng với C và C là trung điểm của OC'.

Chứng minh tương tự, ta được D là trung điểm của OD'.

Vậy các đường thẳng AA', BB', CC', DD' cùng đi qua một điểm O.

b) Vì A, B, C, D lần lượt là trung điểm của OA', OB', OC', OD' nên

\(\frac{{OA'}} = \frac{{OB'}} = \frac{{OC'}} = \frac{{OD'}} = \frac{1}{2}\).