Để chứng minh rằng ba đường thẳng AF, CE và BM đồng quy trong hình vuông ABCD, chúng ta sẽ sử dụng định lý về các điểm đồng quy.

Giả sử hình vuông ABCD có các đỉnh như sau:
- A(0, 0)
- B(a, 0)
- C(a, a)
- D(0, a)

Đường chéo AC có phương trình:
\[ y = x \]

Giả sử điểm M nằm trên đường chéo AC có tọa độ M(m, m), với \( 0 \leq m \leq a \).

Từ M, vẽ đoạn thẳng ME vuông góc với AD. Tọa độ điểm E sẽ là:
\[ E(0, m) \]

Tương tự, từ M, vẽ đoạn thẳng MF vuông góc với CD. Tọa độ điểm F sẽ là:
\[ F(m, a) \]

Bây giờ chúng ta sẽ xác định phương trình của ba đường thẳng AF, CE và BM.

1. **Đường thẳng AF**:
- Điểm A(0, 0) và F(m, a) tạo thành đường thẳng AF. Phương trình đường thẳng AF có dạng:
\[
y = \frac{a - 0}{m - 0} (x - 0) + 0 \implies y = \frac{a}{m} x
\]

2. **Đường thẳng CE**:
- Điểm C(a, a) và E(0, m) tạo thành đường thẳng CE. Phương trình đường thẳng CE có dạng:
\[
y - a = \frac{m - a}{0 - a} (x - a) \implies y - a = \frac{m - a}{-a}(x - a)
\]

Giải phương trình này sẽ cho:
\[
y = -\frac{m - a}{a} x + m
\]

3. **Đường thẳng BM**:
- Điểm B(a, 0) và M(m, m) tạo thành đường thẳng BM. Phương trình đường thẳng BM có dạng:
\[
y - 0 = \frac{m - 0}{m - a} (x - a) \implies y = \frac{m}{m - a} (x - a)
\]

Chúng ta sẽ tìm điểm đồng quy của ba đường thẳng trên. Giả sử ba đường thẳng đồng quy tại một điểm O(x_o, y_o).

Từ phương trình đường thẳng AF, CE và BM, ta có hệ phương trình:

1. \( y_o = \frac{a}{m} x_o \) (từ AF)
2. \( y_o = -\frac{m - a}{a} x_o + m \) (từ CE)
3. \( y_o = \frac{m}{m - a} (x_o - a) \) (từ BM)

Bằng cách giải hệ phương trình này, ta có thể tìm được x_o và y_o tương ứng.

Nếu có một nghiệm (x_o, y_o) thì ba đường thẳng AF, CE và BM đồng quy. Trường hợp bậc hai trong hệ phương trình cho thấy rằng ba đường thẳng sẽ cắt nhau tại một điểm.

Do đó, chúng ta có thể khẳng định rằng ba đường thẳng AF, CE và BM đồng quy tại một điểm O.