Để giải bài toán này, ta sẽ tiến hành theo từng mục một.

### a) Chứng minh \(AD = BC\).

1. **Xét tam giác vuông \(ABC\)** tại \(A\), ta có:
- \(AB\) là cạnh huyền.
- \(AC\) và \(BC\) là hai cạnh góc vuông.

2. **Điểm \(M\)** là trung điểm của \(AC\) nên:
\[
AM = MC.
\]

3. **Tam giác vuông \(ABD\)** và **tam giác vuông \(MBC\)**:
- \(AD\) có thể được xem như là chiều cao từ \(A\) xuống cạnh \(BC\).
- Bằng định lý Pythagoras, ta có:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2.
\]

4. Vì vậy, \(AD = BC\) dựa trên tính chất của các đường cao trong tam giác vuông.

### b) Chứng minh \(CD \perp AC\).

1. **Xét điểm \(D\)** nằm trên tia đối của tia \(MB\):
- Do \(MD = MB\), tức là \(D\) nằm trên đường tròn tâm \(M\) bán kính \(MB\).

2. **Tam giác \(MBC\)** là tam giác vuông, nên góc \(MCB = 90^\circ\).

3. Kết hợp với điểm \(C\) nằm trên cạnh \(AC\), suy ra:
\[
CD \perp AC.
\]

### c) Đường thẳng qua \(B\) song song với \(AC\) cắt tia \(DC\) tại \(N\). Chứng minh \(\triangle ABM = \triangle CNM\).

1. **Vì đường thẳng qua \(B\)** song song với \(AC\), ta có tổng quát về các góc:
- \( \angle ABM = \angle CNM \) (góc so le bằng).

2. **Xét các cạnh:**
- \(AB\) là cạnh chung.
- \(AD = BC\) đã chứng minh ở phần a.

3. Kết luận từ hai cặp góc và một cạnh chung, suy ra:
\[
\triangle ABM \cong \triangle CNM.
\]

Từ các chứng minh trên, ta đã hoàn tất các mục của bài toán.