**Solution:**

**a)** Để tính độ dài \( AB \) và góc \( OAB \), chúng ta sử dụng định lý Pitago cho tam giác vuông \( OAB \).

- Theo định lý Pitago:
\[
OA^2 = AB^2 + OB^2
\]
Trong đó:
- \( OA = 10 \text{ cm} \)
- \( OB = R = 6 \text{ cm} \)

Thay vào công thức:
\[
10^2 = AB^2 + 6^2
\]
\[
100 = AB^2 + 36
\]
\[
AB^2 = 100 - 36 = 64
\]
\[
AB = \sqrt{64} = 8 \text{ cm}
\]

Để tính số đo góc \( OAB \), chúng ta có thể áp dụng công thức tang:
\[
\tan(OAB) = \frac{OB}{AB} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}
\]
Sử dụng máy tính để tính góc \( OAB \):
\[
OAB = \tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) \approx 36.87^\circ \text{ (làm tròn đến độ)} \approx 37^\circ
\]

**b)** Để chứng minh bốn điểm \( A, B, O \) và \( I \) cùng thuộc một đường tròn, chúng ta sử dụng định lý về trung điểm và góc đối.

Xét góc \( OAB \):
\[
\angle OAB = 37^\circ
\]
Góc \( AIB \) được hình thành bởi \( AC \) và \( AD \). Xét tam giác \( AOB \):
- Ta có:
\[
\angle AOB + \angle AIB = 180^\circ \Rightarrow \angle AIB = 180^\circ - \angle OAB
\]
- Do đó,:
\[
\angle AIB = 180^\circ - 37^\circ = 143^\circ
\]

Chúng ta thấy rằng \( AI \) cắt đường tròn đi qua \( A, B, O \) tại \( I \).

Vì \( I \) là trung điểm của \( CD \) (và \( C, D \) nằm trên đường tròn với tâm \( O \), bán kính \( R \)), nên tổng của các góc \( OAB \) và \( OI \) làm cho \( A, B, O, I \) nằm trên một đường tròn theo định lý góc nội tiếp.

**c)** Để chứng minh:
Theo định lý sin, ta có:
\[
\angle AIB = \angle ACB
\]
Nên:
\[
AC \cdot AD = AB^2
\]
Vì vậy:
\[
\text{Tích } AC \cdot AD = AO^2 - R^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64
\]

**d)** Để chứng minh rằng tích \( AC \cdot AD \) không đổi khi \( C \) thay đổi trên đường tròn, chúng ta xét điểm \( C \) di chuyển quanh đường tròn.

Dễ thấy rằng độ dài \( AC \) và độ dài \( AD \) luôn bằng tổng các đoạn từ \( A \) đến \( O \) được giữ nguyên, nên \( AC \cdot AD = k \), với \( k \) là một hằng số.

Kết luận rằng \( AC \cdot AD \) không đổi khi \( C \) thay đổi.

Do đó, bốn điểm \( A, B, O, I \) nằm trên một đường tròn và tích \( AC \cdot AD \) luôn không đổi.