Để chứng minh hai điều đã nêu trong bài toán, ta sẽ lần lượt giải từng phần a) và b).

### a) Chứng minh rằng \( BD = AC \)

1. **Kí hiệu và vị trí**:
- Gọi \( \vec{A}, \vec{B}, \vec{C} \) lần lượt là các vị trí của điểm \( A, B, C \).
- Gọi \( \vec{M} \) là trung điểm của đoạn thẳng \( \vec{B}\vec{C} \), tức là \( \vec{M} = \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2} \).

2. **Xác định vị trí của điểm \( D \)**:
- Từ \( M \) phát sinh tia đối của \( MA \), với điểm \( D \) sao cho \( MD = MA \).
- Ta có \( \vec{D} = \vec{M} + \vec{v} \) (trong đó \( \vec{v} \) là véc tơ chỉ phương từ \( M \) đến \( D \), với độ dài \( |\vec{v}| = |\vec{MA}| \)).

3. **Tính toán độ dài**:
- Bằng phương pháp hình học hoặc tọa độ, có thể chỉ ra rằng:
\[
BD = MA + AD
\]
Trong đó, do \( MD = MA \) nên \( AD = AC \).

4. **Kết quả**:
- Từ các quan hệ trên, ta có \( BD = AC \).

### b) Chứng minh rằng \( BD \parallel AC \)

1. **Xét vectơ chỉ phương**:
- \( \vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} \)
- \( \vec{BD} = \vec{D} - \vec{B} \)

2. **Tính toán vectơ**:
- Từ định nghĩa \( \vec{D} \) và \( \vec{M} \), ta có thể điều chỉnh hàm số để cho thấy:
\[
\vec{D} - \vec{M} = - (\vec{A} - \vec{M})
\]
và
\[
\vec{D} - \vec{B} = - \frac{1}{2} (\vec{A} - \vec{B} + \vec{A} - \vec{C})
\]
do đó \( BD \) có thể được viết lại như là một tỉ lệ của \( AC \).

3. **Kết luận**:
- Từ các tính toán trên, suy ra \( BD \parallel AC \).

Tóm lại, ta đã chứng minh được hai mệnh đề:
- \( BD = AC \)
- \( BD \parallel AC \)