Chứng minh tam giác AOM = tam giác BOM; MA = MB

Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta có thể thực hiện từng bước như sau:

### a) Chứng minh tam giác AOM = tam giác BOM

**Giả thiết:**
- \(A\) và \(B\) nằm trên các trục \(Ox\) và \(Oy\) lần lượt sao cho \(OA = OB\).
- \(O\) là điểm gốc tọa độ.
- \(M\) là điểm trên tia phân giác \(Ot\) của góc nhọn \(xoy\).

**Chứng minh:**
1. Ta có \(OA = OB\) (theo giả thiết).
2. Gọi \(\angle AOM = \theta_1\) và \(\angle BOM = \theta_2\). Vì \(M\) nằm trên tia phân giác của góc \(\angle AOB\) nên \(\theta_1 = \theta_2\).
3. Do đó, ta có:
- \(OA = OB\)
- \(\angle AOM = \angle BOM\)
4. Vậy theo điều kiện của hai tam giác bằng nhau (cạnh-góc-cạnh), ta có:
\[
\triangle AOM \cong \triangle BOM
\]

### b) Chứng minh MA = MB

Do \(O\) là điểm gốc tọa độ và \(A\) nằm trên trục \(Ox\), \(B\) nằm trên trục \(Oy\), mà \(OA = OB\). Theo tính chất của tia phân giác trong tam giác, điểm \(M\) nằm trên tia phân giác sẽ đảm bảo rằng đoạn thẳng \(MA\) và \(MB\) cũng bằng nhau.

Cụ thể, từ các tam giác \(\triangle AOM\) và \(\triangle BOM\) vừa chứng minh ở phần a), ta có:
\[
MA = MB
\]

### c) Chứng minh tam giác AOE = tam giác BOF

**Giả thiết:**
- \(AM\) cắt \(Oy\) tại \(E\) và \(BM\) cắt \(Ox\) tại \(F\).

**Chứng minh:**
1. Ta có điểm \(O\) là chung cho cả hai tam giác.
2. Theo định nghĩa \(A\) và \(B\) nằm trên trục \(Ox\) và \(Oy\) với \(OA = OB\).
3. Ta đã chứng minh rằng \(MA = MB\) ở phần b).
4. Do đó, theo các cạnh chung và điều kiện cặp cạnh ngang (cạnh-chung), ta có:
- \(OE = OF\) (vì \(E\) và \(F\) nằm lần lượt trên các đường thẳng \(AM\) và \(BM\)).
5. Suy ra:
\[
\triangle AOE \cong \triangle BOF
\]

### d) Chứng minh tam giác AMF = tam giác BME

**Giả thiết:**
- \(M\) là điểm chung bắt đầu.

**Chứng minh:**
1. Đây cũng là tam giác có các cạnh \(AM\) và \(BM\) đã được chứng minh bằng nhau.
2. Có thể áp dụng cách lập luận tương tự như phần c):
- \(AM = MB\) và \(M\) là chung.
- Cặp góc tại điểm \(M\) (\(\angle AMF\) và \(\angle BME\)) cũng bằng nhau do tính chất chéo từ hai tam giác.
3. Suy ra:
\[
\triangle AMF \cong \triangle BME
\]

Như vậy, ta đã chứng minh xong từng phần của bài toán bằng cách sử dụng các tính chất của tam giác và các điều kiện đã đưa ra.