Để chứng minh rằng \( BC = DE \), chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác và tính đối xứng trong hình học phẳng.

### Giả thiết:
- Giả sử \( A \) là đỉnh của góc \( xAy \).
- Chọn điểm \( B \) trên tia \( Ax \) và điểm \( D \) trên tia \( Ay \) sao cho \( AB = AD \).
- Trên tia \( Dy \), ta chọn điểm \( C \) sao cho \( BE = DC \) (với \( E \) là một điểm cố định nào đó, nhưng thực chất cũng có thể là điểm \( D \) nếu chúng ta đặt \( E \) trùng với \( D \)).

### Chứng minh:
1. Gọi \( O \) là điểm chung của \( BC \) và \( DE \). Nếu \( E \) trùng với \( D \), chúng ta dễ dàng có \( DE = DC \).
2. Trong tam giác \( ABE \) và \( ACD \):
- Ta có \( AB = AD \) (căn cứ vào giả thiết).
- \( BE = DC \) (căn cứ vào giả thiết).

3. Do đó, ta có hai hướng cùng chiều:
- \( AB = AD \) (độ dài hai cạnh của hai tam giác).
- \( BE = DC \) (độ dài hai cạnh đối diện nhau).

4. Theo định lý tam giác, chúng ta có được:
- Tam giác \( ABX \) và \( ADY \) là đồng dạng (với \( X \) và \( Y \) là hai điểm cuối).

5. Từ đó, suy ra được rằng với \( \angle xAy \) không phải là angle flat, chiều dài \( BC \) cũng bằng chiều dài \( DE \):

\[
BC = DE
\]

### Kết luận:
Do đó, ta đã chứng minh được rằng:

\[
BC = DE
\]

Kết quả này dựa vào các thông tin đã cho và các tính chất hình học của tam giác mà không vi phạm các điều kiện trong bài toán.