Tính: √(x−5)(7+2x)

Để giải bất phương trình \( \sqrt{(x-5)(7+2x)} < (x-5)(7+2x) \), trước tiên cần kiểm tra điều kiện xác định của căn. Để căn thức này có nghĩa, ta cần:

1. \( (x-5) \geq 0 \) => \( x \geq 5 \)
2. \( (7+2x) \geq 0 \) => \( x \geq -\frac{7}{2} \) (điều này không ảnh hưởng do \( x \geq 5 \) đã đủ điều kiện)

Vậy điều kiện xác định là \( x \geq 5 \).

Tiếp theo, ta sẽ biến đổi bất phương trình thành:

\(\sqrt{(x-5)(7+2x)} < (x-5)(7+2x)\)

Ta bình phương hai vế (chỉ cần thực hiện điều này khi cả hai vế đều không âm):

\((x-5)(7+2x) > 0\)

Ta sẽ xét từng nhân tử:

- \( x-5 > 0 \) => \( x > 5 \)
- \( 7 + 2x > 0 \) => \( x > -\frac{7}{2} \) (điều này không ảnh hưởng do \( x \geq 5 \))

Tóm lại, điều kiện để bất phương trình này có nghiệm là \( x > 5 \).

Giờ ta cần giải bất phương trình:

\((x-5)(7+2x) > 0\)

Đặt:

1. \( x - 5 = 0 \) => \( x = 5 \)
2. \( 7 + 2x = 0 \) => \( x = -\frac{7}{2} \)

Ta có các khoảng:

- \( (-\infty, -\frac{7}{2}) \)
- \( (-\frac{7}{2}, 5) \)
- \( (5, +\infty) \)

Ta kiểm tra dấu của biểu thức trong từng khoảng:

1. **Khoảng \( (-\infty, -\frac{7}{2}) \)**:
- Chọn \( x = -4 \) => \( (-4-5)(7 + 2(-4)) = (-9)(-1) = 9 > 0 \)

2. **Khoảng \( (-\frac{7}{2}, 5) \)**:
- Chọn \( x = 0 \) => \( (0-5)(7 + 2(0)) = (-5)(7) = -35 < 0 \)

3. **Khoảng \( (5, +\infty) \)**:
- Chọn \( x = 6 \) => \( (6-5)(7 + 2(6)) = (1)(19) = 19 > 0 \)

Từ đó, ta có kết luận:

- Biểu thức \((x-5)(7+2x) > 0\) đúng với hai khoảng: \( x < -\frac{7}{2} \) và \( x > 5 \).

Vì mà chúng ta quan tâm đến khoảng xác định của biểu thức thì nghiệm cuối cùng của bất phương trình

\(\sqrt{(x-5)(7+2x)} < (x-5)(7+2x)\) là:

**\( x > 5 \)**