Tính giá trị của biểu thức A khi \( x = 8 \). Rút gọn B. Tìm \( x \) để \( B = -\frac{1}{2} \)

Để giải quyết bài toán, ta thực hiện từng phần như sau:

**a) Tính giá trị của biểu thức A khi \( x = 8 \):**

Biểu thức A được cho bởi:
\[
A = \frac{2x - 1}{x + 2}
\]
Thay \( x = 8 \) vào biểu thức:
\[
A = \frac{2(8) - 1}{8 + 2} = \frac{16 - 1}{10} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}
\]
Vậy \( A = \frac{3}{2} \).

---

**b) Rút gọn B:**

Biểu thức B là:
\[
B = \frac{5}{x + 2} + \frac{2x^2 + 3x - 6}{x^2 - 4} + \frac{2}{x - 2}
\]

Ta có thể rút gọn từng phần của B như sau:

1. \( x^2 - 4 \) có thể viết thành \( (x - 2)(x + 2) \).
2. Lấy phần thứ hai:
\[
\frac{2x^2 + 3x - 6}{(x - 2)(x + 2)}
\]
Sử dụng khai triển phân thức, phân tích tử số:
\[
2x^2 + 3x - 6 = (x - 2)(2x + 6)
\]
Nên:
\[
B = \frac{5}{x + 2} + \frac{(x - 2)(2x + 6)}{(x - 2)(x + 2)} + \frac{2}{x - 2}
\]
Giả sử \( x \neq 2 \), ta có thể rút gọn là:
\[
B = \frac{5 + 2x + 6 + 2}{x + 2} = \frac{2x + 13}{x + 2}
\]

---

**c) Tìm \( x \) để \( B = -\frac{1}{2} \):**

Giải phương trình:
\[
\frac{2x + 13}{x + 2} = -\frac{1}{2}
\]
Nhân chéo:
\[
2(2x + 13) = -1(x + 2)
\]
Dễ dàng giải phương trình:
\[
4x + 26 = -x - 2 \implies 5x = -28 \implies x = -\frac{28}{5}
\]

---

**d) Tìm \( x \) nguyên để \( C = B : A \) nguyên:**

Biểu thức \( C \) là:
\[
C = \frac{B}{A} = \frac{\frac{2x + 13}{x + 2}}{\frac{2x - 1}{x + 2}} = \frac{2x + 13}{2x - 1}
\]
Giải phương trình \( C \) nguyên:
\[
C = k \quad (k \in \mathbb{Z})
\]
Trong đó, \( k \) là số nguyên, phần tử số chia cho mẫu không đổi.

Giả sử \( C = k \):
\[
2x + 13 = k(2x - 1) \implies 2x + 13 = 2kx - k \implies 2x - 2kx = -k - 13
\]
Hay là:
\[
x(2 - 2k) = -k - 13 \implies x = \frac{-k - 13}{2 - 2k}
\]

Nên hãy thử với các giá trị của \( k \) để tìm giá trị nguyên cho \( x \).

---

**e) Tìm giá trị lớn nhất của D = B (4 - x^2):**

Biểu thức D là:
\[
D = B(4 - x^2)
\]
Tối đa hóa \( D \) và sử dụng phương pháp tìm cực trị (dựa trên đạo hàm) hoặc giá trị cụ thể của \( B \) trong một khoảng xác định cho \( x \).

Để tối ưu hóa \( B \), xác định giá trị của nó với các giới hạn là cần thiết.

---

Như vậy, bạn có thể sử dụng thông tin trên để hoàn thành các phần còn lại của bài toán!