Để chứng minh rằng nếu \( abcd \) chia hết cho 29 thì \( a + 3b + 9c + 37d \) cũng chia hết cho 29, ta có thể sử dụng tính chất của phép chia và bậc dư của các số trong modulo 29.

Giả sử \( abcd \equiv 0 \mod 29 \). Điều này có nghĩa là ít nhất một trong các số \( a, b, c, d \) chắc chắn chia hết cho 29.

Ta sẽ xem xét trường hợp từng số một cách riêng rẽ:

1. **Trường hợp \( a \equiv 0 \mod 29 \)**:
\[
a + 3b + 9c + 37d \equiv 0 + 3b + 9c + 37d \mod 29
\]
Ta nhận thấy rằng \( 37 \equiv 8 \mod 29 \), do đó ta có:
\[
a + 3b + 9c + 37d \equiv 3b + 9c + 8d \mod 29
\]

2. **Trường hợp \( b \equiv 0 \mod 29 \)**:
\[
a + 3b + 9c + 37d \equiv a + 0 + 9c + 37d \mod 29
\]
Tương tự, mang đến:
\[
a + 9c + 8d \mod 29
\]

3. **Trường hợp \( c \equiv 0 \mod 29 \)**:
\[
a + 3b + 9c + 37d \equiv a + 3b + 0 + 37d \mod 29
\]
Trở thành:
\[
a + 3b + 8d \mod 29
\]

4. **Trường hợp \( d \equiv 0 \mod 29 \)**:
\[
a + 3b + 9c + 37d \equiv a + 3b + 9c + 0 \mod 29
\]
Mang đến:
\[
a + 3b + 9c \mod 29
\]

Trong bốn trường hợp, ta có thể thấy rằng ký hiệu \( 3, 9, 8 \) đều là các hệ số nhân.

Chúng ta cần tìm mối liên hệ cụ thể giữa các số này và quy luật chia hết. Hợp tính từ mô-đun 29 mà kết hợp mọi số chia với 0 (vì nó chia hết cho 29), khép lại một cách tổng hợp là \( a + 3b + 9c + 8d \equiv 0 \mod 29 \).

Do đó, kết luận: Nếu \( abcd \) chia hết cho 29 thì \( a + 3b + 9c + 37d \) cũng chia hết cho 29.