Gọi số học sinh dự thi của trường A là \( x \) và số học sinh dự thi của trường B là \( y \).

Theo đề bài, ta có hai phương trình:

1. Tổng số học sinh dự thi của hai trường:
\[
x + y = 350
\]

2. Số học sinh trúng tuyển của mỗi trường:
- Trường A có 97% số học sinh dự thi trúng tuyển:
\[
0.97x
\]
- Trường B có 96% số học sinh dự thi trúng tuyển:
\[
0.96y
\]

Tổng số học sinh trúng tuyển của cả hai trường là 338:
\[
0.97x + 0.96y = 338
\]

Bây giờ ta có hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
x + y = 350 \quad (1) \\
0.97x + 0.96y = 338 \quad (2)
\end{cases}
\]

Từ phương trình (1), ta có thể biểu diễn \( y \) theo \( x \):
\[
y = 350 - x
\]

Thay \( y \) vào phương trình (2):
\[
0.97x + 0.96(350 - x) = 338
\]

Giải phương trình này:
\[
0.97x + 336 - 0.96x = 338
\]
\[
(0.97 - 0.96)x + 336 = 338
\]
\[
0.01x + 336 = 338
\]
\[
0.01x = 2
\]
\[
x = 200
\]

Thay giá trị \( x \) vào phương trình (1) để tìm \( y \):
\[
y = 350 - 200 = 150
\]

Vậy, số học sinh dự thi của trường A là \( 200 \) và số học sinh dự thi của trường B là \( 150 \).

**Kết quả:**
- Trường A có 200 học sinh dự thi.
- Trường B có 150 học sinh dự thi.