Để giải phương trình \( 9(2x + 1)^2 - 4(x + 1)^2 = 0 \), ta sẽ làm các bước như sau:

1. **Bước 1: Đưa phương trình về dạng đơn giản hơn**

Ta có phương trình:
\[
9(2x + 1)^2 = 4(x + 1)^2
\]

2. **Bước 2: Kết hợp các biểu thức**

Ta sẽ đưa biểu thức bên trái về dạng số mũ:
\[
9(2x + 1)^2 = 4(x + 1)^2
\]

3. **Bước 3: Thực hiện bình phương**

Giải thích từng phần:
\[
\sqrt{9}(2x + 1) = \sqrt{4}(x + 1)
\]
Già trị:
\[
3(2x + 1) = 2(x + 1)
\]

4. **Bước 4: Giải phương trình**

Mở rộng:
\[
6x + 3 = 2x + 2
\]
Chuyển các biểu thức có x về một bên:
\[
6x - 2x = 2 - 3
\]
\[
4x = -1
\]
Từ đó, ta có:
\[
x = -\frac{1}{4}
\]

5. **Bước 5: Kiểm tra lại nghiệm**

Ta sẽ thay x = -1/4 vào phương trình gốc để kiểm tra.

- Tính \( (2(-\frac{1}{4}) + 1) = 0.5 \)
- Tính \( (-\frac{1}{4} + 1) = \frac{3}{4} \)

Thay vào phương trình gốc:
\[
9(0.5)^2 - 4(\frac{3}{4})^2 = 9(0.25) - 4(\frac{9}{16}) = \frac{9}{4} - \frac{36}{16} = \frac{9}{4} - \frac{9}{4} = 0
\]

Vậy nghiệm của phương trình là:

\[
\boxed{-\frac{1}{4}}
\]