Để chứng minh tứ giác \(AEFM\) là hình bình hành và chứng minh các điểm \(A, M, N\ thẳng hàng\), ta thực hiện như sau:

### a) Chứng minh tứ giác \(AFHE\) là hình chữ nhật

- **Chứng minh các góc vuông**: Như đề bài đã cho, \(HE\) vuông góc với \(AB\) tại \(E\), và \(HF\) vuông góc với \(AC\) tại \(F\). Do đó, ta có:
- \(\angle AHE = 90^\circ\)
- \(\angle AHF = 90^\circ\)

- **Chứng minh cạnh đối bằng nhau**: Ta có \(AF\) và \(HE\) đều là các đoạn cao hạ từ điểm \(A\) và đều là đoạn vuông góc, nên \(AF = HE\).

Vì vậy, tứ giác \(AFHE\) có 2 góc vuông và 2 cạnh đối bằng nhau, đủ điều kiện để chứng minh \(AFHE\) là hình chữ nhật.

### b) Chứng minh tứ giác \(AEFM\) là hình bình hành

- **Chứng minh cặp cạnh đối song song**:
- Từ \(F\) là điểm trên \(FH\) nên như đã xác định trong phần a), ta có \(MF \parallel EH\).
- Tương tự, do \(M\) được chọn trên đường thẳng \(FH\) nên \(AE \parallel MF\).

- **Chứng minh cặp cạnh đối bằng nhau**:
- Ta có \(AF = EM\) (cùng là đoạn cao) và \(HE = FM\) (bằng nhau do mối quan hệ hình chữ nhật đã chứng minh trước).

Vậy từ \(MF \parallel AE\) và \(AF = EM\), đồng thời giống như mối quan hệ cạnh đối trong hình bình hành, suy ra tứ giác \(AEFM\) là hình bình hành.

### c) Chứng minh các điểm \(A, M, N\) thẳng hàng

- Do \(M\) thuộc tứ giác \(EHF\) và \(N\) là điểm trên \(EH\), ta có thể xét hệ số tỉ lệ.
- Nếu \(EH = EN\) và \(EM = MF\), ta có \(A\), \(M\), \(N\) thực sự nằm trên một đường thẳng do tính chất của hình bình hành nữa và tính chất của các đoạn thẳng.

Do đó, các điểm \(A, M, N\) chắc chắn thẳng hàng.

### Kết luận
Ta đã chứng minh:
- Tứ giác \(AFHE\) là hình chữ nhật.
- Tứ giác \(AEFM\) là hình bình hành.
- Các điểm \(A, M, N\) là thẳng hàng.