Để chứng minh rằng \( A, I, M \) thẳng hàng trong tam giác \( ABC \) cân tại \( A \), với \( I \) là giao điểm của hai đường phân giác \( BD \) và \( CE \), và \( M \) là trung điểm của \( BC \), ta thực hiện các bước như sau:

1. **Xác định các điểm**:
- Tam giác \( ABC \) cân tại \( A \) có nghĩa là \( AB = AC \).
- Gọi \( M \) là trung điểm của \( BC \).

2. **Sử dụng tính chất của đường phân giác**:
- Từ định nghĩa, \( BD \) và \( CE \) là hai đường phân giác trong tam giác \( ABC \). Do đó, \( D \) và \( E \) là các điểm trên cạnh \( AC \) và \( AB \) sao cho \( \frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC} \) và \( \frac{AE}{EB} = \frac{AC}{BC} \).

3. **Tính chất của tam giác cân**:
- Vì tam giác \( ABC \) cân tại \( A \) nên \( \frac{AD}{DC} = \frac{AE}{EB} \).

4. **Chứng minh rằng \( I \) nằm trên đường thẳng \( AM \)**:
- Do \( M \) là trung điểm của \( BC \) và \( AB = AC \), ta có:
\[
\frac{BM}{MC} = 1
\]
- Kết hợp với tính chất đường phân giác, ta có:
\[
\frac{AB}{AC} = 1 \implies \frac{AD}{DC} = \frac{AE}{EB}
\]
- Bây giờ hoặc là \( I \) nằm trên đoạn thẳng \( AM \) hoặc là tạo thành một tỉ lệ nhân cùng với độ dài đoạn mà \( IM \) cắt \( AD \) và \( AE \) theo tỷ lệ thích hợp.

5. **Kết luận**:
- Dựa vào các tính chất trên, ta thấy \( A, I, M \) thẳng hàng.

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng \( A, I, M \) là thẳng hàng.