Để chứng minh \(\triangle AHC \cong \triangle IKA\), chúng ta sẽ sử dụng tiêu chuẩn bằng nhau của hai tam giác (GSS - góc, cạnh, cạnh).

1. **Cạnh chung**: \(\overline{AH}\) là cạnh chung của hai tam giác \(\triangle AHC\) và \(\triangle IKA\).

2. **Cạnh \(\overline{AC}\) và \(\overline{AI}\)**:
- Theo giả thiết, \(AI = AC\).

3. **Góc**:
- \(\angle HAH\) là góc vuông (bởi vì \(AH \perp BC\) và trong tam giác vuông \(ABC\), \(\angle AHB = 90^\circ\)).
- \(\angle KAI\) cũng là góc vuông (bởi \(IK \perp AH\)).

Từ đó, chúng ta có:
- \(AH\) = \(AH\) (cạnh chung)
- \(AI = AC\)
- \(\angle AHC = \angle IKA = 90^\circ\)

Vì vậy, theo tiêu chuẩn GSS, ta có \(\triangle AHC \cong \triangle IKA\).

Kết luận: \(\triangle AHC \cong \triangle IKA\).