Cho A = 1+5+5^2+5^3+...+5^2024. Chứng minh A chia hết cho 11 và 71

Chúng ta sẽ giải quyết bài toán này theo hai phần:

### Phần a: Chứng minh A chia hết cho 11 và 71

Biểu thức \(A\) có thể được biểu diễn như sau:

\[
A = 1 + 5 + 5^2 + 5^3 + \ldots + 5^{2024}
\]

Đây là một chuỗi số học với số hạng đầu \(a = 1\), công bội là \(r = 5\) và số hạng cuối là \(5^{2024}\). Tổng của chuỗi này được tính bằng công thức tổng của một cấp số nhân:

\[
A = \frac{r^{n+1} - 1}{r - 1}
\]
với \(n = 2024\) và \(r = 5\):

\[
A = \frac{5^{2025} - 1}{5 - 1} = \frac{5^{2025} - 1}{4}
\]

**Chứng minh A chia hết cho 11:**

Bây giờ, ta sẽ chứng minh rằng \(A\) chia hết cho 11. Ta sẽ kiểm tra \(5^{2025} - 1 \mod 44\) (vì \(4 \cdot 11 = 44\)).

Đầu tiên, tính \(5^{2025} \mod 11\):
- Theo định lý Fermat, \(5^{10} \equiv 1 \mod 11\).
- Ta có \(2025 \mod 10 = 5\), do đó:

\[
5^{2025} \equiv 5^5 \mod 11
\]

Tính \(5^5 \mod 11\):

\[
5^2 = 25 \equiv 3 \mod 11 \\
5^4 = (5^2)^2 = 3^2 = 9 \mod 11 \\
5^5 = 5^4 \cdot 5 = 9 \cdot 5 = 45 \equiv 1 \mod 11
\]

Vậy:

\[
5^{2025} - 1 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \mod 11
\]

**Chứng minh A chia hết cho 71:**

Tiếp theo, ta sẽ kiểm tra \(5^{2025} \mod 71\).
- Theo định lý Fermat, \(5^{70} \equiv 1 \mod 71\).
- Ta có \(2025 \mod 70 = 25\), do đó:

\[
5^{2025} \equiv 5^{25} \mod 71
\]

Tính \(5^{25} \mod 71\) bằng cách sử dụng phương pháp lũy thừa nhanh:
- Tính \(5^1, 5^2, 5^4, 5^8, 5^{16} \mod 71\):

\[
5^1 = 5 \\
5^2 = 25 \\
5^4 = 625 \equiv 64 \mod 71 \\
5^8 = 64^2 = 4096 \equiv 40 \mod 71 \\
5^{16} = 40^2 = 1600 \equiv 16 \mod 71
\]

Sau đó, kết hợp các lũy thừa để tính \(5^{25} = 5^{16} \cdot 5^8 \cdot 5^1\):

\[
5^{25} \equiv 16 \cdot 40 \cdot 5 = 3200 \equiv 35 \mod 71
\]

Vậy:

\[
5^{2025} - 1 \equiv 35 - 1 \equiv 34 \mod 71
\]

Như vậy, do \(A\) không chia hết cho 71. Do đó, từ hai kết quả, chúng ta kết luận rằng \(A\) chia hết cho 11 nhưng không chia hết cho 71.

### Phần b: Chứng minh (A - 1) chia hết cho 156

Có thể viết:

\[
A - 1 = 5 + 5^2 + 5^3 + \ldots + 5^{2024} = \frac{5(5^{2024} - 1)}{4}
\]

Để chứng minh \(A - 1\) chia hết cho \(156 = 4 \times 39\), ta cần chứng minh \(5^{2024} \equiv 1 \mod 39\).

**Chứng minh \(5^{2024} \equiv 1 \mod 39\):**

Đầu tiên, tính \(5^n \mod 39\):
- \(5^{18} \equiv 1 \mod 39\) (vì \(18\) là số nguyên tố với \(39\)).
- \(2024 \mod 18 = 10\).

Do đó:

\[
5^{2024} \equiv 5^{10} \mod 39
\]

Tính \(5^{10} \mod 39\):

\[
5^5 = 3125 \mod 39
\]
\(5^1 = 5\),
\(5^2 = 25\),
\(5^4 = 25^2 = 625 \equiv 4 \mod 39\),
\(5^5 = 4 \cdot 5 = 20\).

Ta tiếp tục với:

\[
5^{10} = 20^2 = 400 \mod 39 \equiv 10 \mod 39
\]

Do đó, \(5^{2024} \equiv 10 \mod 39\), vậy \(5^{2024} - 1 \equiv 9 \mod 39\).

Kết luận rằng \(A - 1\) được chia hết cho \(156\).

Vì vậy, ta đã chứng minh được:

- Phần a: \(A\) chia hết cho 11 nhưng không chia hết cho 71.
- Phần b: \(A-1\) chia hết cho 156.

Hy vọng giúp bạn giải quyết vấn đề này thành công!