Chứng minh định lý: "Trong một tam giác, CẠNH ĐỐI DIỆN với GÓC lớn hơn và cạnh lớn hơn"

Định lý mà bạn muốn chứng minh là một trong những định lý cơ bản trong hình học. Định lý này phát biểu rằng trong một tam giác, nếu một góc lớn hơn góc khác, thì cạnh đối diện với góc lớn hơn sẽ lớn hơn cạnh đối diện với góc nhỏ hơn.

**Chứng minh:**

Giả sử \( ABC \) là một tam giác với các góc \( A \), \( B \), \( C \) và các cạnh đối diện tương ứng là \( a = BC \), \( b = CA \), \( c = AB \).

**Giả sử** rằng \( \angle A > \angle B \). Ta cần chứng minh rằng \( a > b \).

1. **Lắp dựng một tam giác phụ:**
- Vẽ đường cao từ điểm \( C \) hạ xuống cạnh \( AB \) tại điểm \( D \). Do đó, \( CD \) là đường cao và \( D \) là điểm trên \( AB \).

2. **Xem xét tam giác \( ACD \) và tam giác \( BCD \):**
- Tam giác \( ACD \) có góc tại \( A \) là \( \angle ACD \) và tam giác \( BCD \) có góc tại \( B \) là \( \angle BCD \).
- Ta có \( \angle ACD + \angle BCD = 90^\circ \) (bởi vì cả hai đều là góc phụ với góc tại \( C \)).
- Do đó, nếu \( \angle A > \angle B \), thì điều này có nghĩa là \( \angle ACD < \angle BCD \).

3. **Sử dụng Định lý Sin (đối với các góc trong tam giác):**
- Theo định lý Sin, trong tam giác \( ACD \) và tam giác \( BCD \):
\[
\frac{a}{\sin C} = \frac{AC}{\sin A} \quad \text{và} \quad \frac{b}{\sin C} = \frac{BC}{\sin B}.
\]
- Vì \( \angle A > \angle B \), ta có \( \sin A > \sin B \).

4. **So sánh độ dài các cạnh:**
- Từ các công thức trên, ta có:
\[
\frac{a}{\sin A} > \frac{b}{\sin B} \quad \Rightarrow \quad a > b \cdot \frac{\sin A}{\sin B}.
\]
- Vì \( \sin A \) lớn hơn \( \sin B \), nên ta suy ra rằng trong tam giác \( ABC \):
\[
a > b.
\]

Vậy nên, nếu góc \( A \) lớn hơn góc \( B \) trong tam giác \( ABC \), thì cạnh \( a \) (cạnh đối diện với góc \( A \)) lớn hơn cạnh \( b \) (cạnh đối diện với góc \( B \)).

Từ đó, ta có thể kết luận định lý: "Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn sẽ lớn hơn."

Chứng minh xong.