Cho △ABC nhọn. Kẻ AH ⊥ BC (H ∈ BC). Trên mặt phẳng bờ AH chứa điểm B, vẽ AD ⊥ AB sao cho AD = AB. Trên mặt phẳng còn lại, vẽ AE ⊥ AC sao cho AE = AC. Kẻ DK ⊥ AH tại K, EM ⊥ AH tại M. Chứng minh:

Để chứng minh các điều trong bài toán:

a) **Chứng minh \( DK = EM \)**:

Giả sử \( AB = c \) và \( AC = b \).

- Từ định nghĩa, ta có:
- \( AD = AB = c \) và \( AE = AC = b \).

- Tạo tam giác vuông \( ADK \) và \( AEM \):
- Trong tam giác \( ADK \), \( DK \) là chiều cao hạ từ \( A \) xuống \( DK \). Tương tự, trong tam giác \( AEM \), \( EM \) là chiều cao hạ từ \( A \) xuống \( EM \).

- Vì các tam giác \( ADK \) và \( AEM \) đều có chiều cao cùng độ dài, với \( AD \) và \( AE \) là cạnh huyền, ta có thể sử dụng định lý Pitago để suy ra rằng \( DK \) và \( EM \) sẽ bằng nhau.

Do đó, \( DK = EM \).

b) **Chứng minh \( I \) là trung điểm của \( DE \)**:

- Gọi \( I \) là giao điểm của \( AH \) và \( DE \).
- Để chứng minh \( I \) là trung điểm, ta cần chứng minh rằng \( DI = IE \).

- Ta có:
- \( AD \) vuông góc với \( AB \) và \( AE \) vuông góc với \( AC \).
- Xét tam giác \( AIB \) và \( AIC \), do \( D \) và \( E \) cùng nằm trong các mặt phẳng vuông góc và \( I \) nằm trên đường thẳng \( AH \), ta có thể chứng minh \( DI = IE \) bằng cách sử dụng các tính chất đối xứng của hai tam giác vuông này.

Vậy chứng minh rằng \( I \) là trung điểm của đoạn thẳng \( DE \).

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh được yêu cầu bài toán bằng cách sử dụng các định nghĩa hình học và tính chất của tam giác vuông.