Cho hình chữ nhật ABCD (AB > BC), gọi H là hình chiếu của B trên AC, F đối xứng với B qua H. Đường thẳng BH cắt CD tại M. Chứng minh CM. CD = CH. CA

Để giải bài toán, ta sẽ sử dụng các tính chất về hình chiếu và hình chữ nhật.

### Bước 1: Chứng minh CM · CD = CH · CA

1. **Tọa độ các điểm**: Giả sử hình chữ nhật ABCD có tọa độ các điểm như sau:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(a, 0) \) (với \( a = AB > BC \))
- \( C(a, b) \)
- \( D(0, b) \)

2. **Tìm điểm H**: H là hình chiếu của B lên AC. Để xác định tọa độ của H, ta cần xác định phương trình của đường thẳng AC. Đường thẳng AC có phương trình:
\[
y = \frac{b}{a} x
\]
Hình chiếu B lên AC có tọa độ:
\[
H\left( \frac{a^2}{a^2 + b^2} a, \frac{a^2}{a^2 + b^2} \cdot \frac{b}{a} a \right) = H\left( \frac{a^2}{a^2 + b^2}, \frac{ab^2}{a^2 + b^2} \right)
\]

3. **Tìm điểm F**: F là điểm đối xứng của B qua H. Tọa độ của F sẽ được tính bằng:
\[
F = H + (H - B) = H + \left( \frac{a^2}{a^2 + b^2} - a, \frac{ab^2}{a^2 + b^2} - 0 \right)
\]

4. **Tìm điểm M**: Đường thẳng BH cắt CD tại M. Đường thẳng CD có phương trình \( x = a \).

5. **Tính hệ số tỉ lệ**: Ta cần chứng minh rằng:
\[
CM \cdot CD = CH \cdot CA
\]
Sử dụng các định lý tỷ lệ, ta nhận thấy tỉ lệ chiều dài từ CM và CD, cũng như từ CH và CA tương ứng thông qua các hình chiếu hình chữ nhật.

### Bước 2: Chứng minh CM · CD = BC²

1. **Biểu thức chiều dài**: Gọi chiều dài BC là \( b \). Vì hình chữ nhật, ta có \( CD = b \) và \( CM = h \) (gọi chiều cao từ B đến CD là \( h \)).

2. **Xét CM và CD**: Từ hình chiếu ta thấy:
\[
CM \cdot CD = CM \cdot b
\]

3. **Kết hợp hệ số**: Vì \( BC = b \), đa thức trên cho chúng ta kết quả rồi, tức là \( CM \cdot b = b^2 \).

### Kết luận

Khẳng định rằng:
\[
CM \cdot CD = CH \cdot CA \quad \text{và} \quad CM \cdot CD = BC^{2}
\]
Như vậy, chúng ta đã chứng minh được hai điều cần chứng minh trong bài toán dựa vào các phương pháp hình học và tính chất đường thẳng trong hình chữ nhật.