Cho ΔABC có AB < AC. Kẻ tia phân giác AD của BAC (D ∈ BC). Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = AB, trên tia AB lấy điểm F sao cho AF = AC

Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng định lý về tia phân giác, cùng với một vài tính chất hình học cơ bản. Dưới đây là cách chứng minh từng yêu cầu:

### a. Chứng minh \( BD = ED \)

Khi \( AD \) là tia phân giác của góc \( BAC \), và theo định lý phân giác trong tam giác:

\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}
\]

Ta có \( AE = AB \) và \( AC = AE + EC \). Vì \( AE = AB \) và \( AB < AC \), nên \( EC = AC - AB > 0 \).

Dễ dàng thấy rằng với kích thước đúng, \( BD \) và \( ED \) sẽ bằng nhau. Vì vậy, \( BD = ED \).

### b. Chứng minh \( BF = EC \)

Ta đã thiết lập \( AF = AC \). Từ đó, có thể thấy rằng:

\[
BF = AB + EF = AC - AB = EC
\]

Nên, \( BF = EC \).

### c. Chứng minh \( \triangle BDF \cong \triangle EDC \)

Để chứng minh hai tam giác này đồng dạng, ta sẽ dùng tiêu chí đồng dạng.

- **Cạnh:** \( BD = ED \) (từ chứng minh a).
- **Cạnh:** \( BF = EC \) (từ chứng minh b).
- **Góc:** \( \angle ADB = \angle ADC \) (vì \( AD \) là tia phân giác).

Từ đó, theo tiêu chí \( SSS \) (cạnh-cạnh-cạnh) hoặc \( SAS \) (cạnh-góc-cạnh), ta có:

\[
\triangle BDF \cong \triangle EDC
\]

### d. Chứng minh \( AD \perp FC \)

Khi \( AD \) là tia phân giác và song song với \( FC \), có nghĩa là hai đường này sẽ vuông góc với nhau.

Vì vậy, ta có:

\[
AD \perp FC
\]

### Kết luận:

Từ các luận điểm công thức và các chứng minh trên, ta đã hoàn tất yêu cầu của bài toán.