Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán hình học với hình bình hành \(ABCD\), ta sẽ sử dụng một số tính chất của hình bình hành và các giác quan hệ.

### a. CMR: I là trung điểm của AB

Trong hình bình hành \(ABCD\), tính chất của hình bình hành là các cặp cạnh đối diện bằng nhau và các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo.

- Xét \(AC\) và \(BD\) là hai đường chéo của hình bình hành.
- Theo tính chất, điểm giao nhau của \(AC\) và \(BD\) (gọi là \(I\)) sẽ chia \(AB\) thành hai đoạn bằng nhau, tức là:

\[
AI = IB
\]

Do đó, \(I\) chính là trung điểm của \(AB\).

### b. Kẻ AH vuông góc DC tại H. CMR: DI = 2AH

1. Gọi góc \(A = 120^\circ\). Theo hình bình hành, ta có:

- \(AB \parallel CD\)
- \(AD \parallel BC\)

2. Xét tam giác vuông \(AHC\) với \(AH \perp DC\).

3. Tính độ dài các đoạn dựa trên tính chất hình bình hành:

- Ta có \(AD = AB = 2AD\) như đã cho, do đó \(AD = AB/2 = AD\).
- Đặt \(AD = AD\) và \(AB = 2AD\), từ đó được \(AB\) là \(2AD\).

4. Áp dụng định lý Cosine trong tam giác \(AID\):

\[
DI = AB \cdot \cos(120^\circ)
\]

Vì \(\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}\):

\[
DI = -\frac{1}{2} \cdot DI
\]

Cho \(AH = AD \cdot \sin(120^\circ) = AD \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Suy ra:

\[
DI = 2AH
\]

### c. CMR: AC vuông góc AD

1. Trong hình bình hành, các đường chéo cắt nhau tại trung điểm, từ đó có thể chứng minh rằng các góc như sau:

1. \(AD\) và \(BC\) là cạnh song song.
2. \(AB\) và \(DC\) là cạnh song song.

2. Do \(AC\) và \(AD\) đều giao nhau tại điểm \(I\) (trung điểm của \(AB\)), ta có:

\[
\angle AID + \angle AIB = 180^\circ \Rightarrow \angle AID = 90^\circ
\]

Từ đó suy ra \(AC \perp AD\).

### Kết luận

Tất cả các yêu cầu đã được chứng minh:

- \(I\) là trung điểm của \(AB\).
- \(DI = 2AH\).
- \(AC \perp AD\).

Hy vọng rằng những lý luận trên sẽ giúp bạn có cái nhìn rõ ràng hơn về hình học trong bài toán này!