Để tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm \( C = \frac{1}{2x + 1} \) với \( x \) là số nguyên, trước tiên, chúng ta cần phân tích biểu thức \( 2x + 1 \).

Xét biểu thức \( 2x + 1 \):
- Khi \( x \) là số nguyên, giá trị \( 2x + 1 \) sẽ luôn là một số lẻ và nó có thể dương hoặc âm tùy thuộc vào giá trị của \( x \).
- Cụ thể:
- Nếu \( x = 0 \), \( 2x + 1 = 1 \) (dương).
- Nếu \( x = -1 \), \( 2x + 1 = -1 \) (âm).
- Nếu \( x = -2 \), \( 2x + 1 = -3 \) (âm).

Khi \( 2x + 1 \) âm, giá trị \( C \) sẽ âm, còn khi \( 2x + 1 \) dương, giá trị \( C \) sẽ dương. Cụ thể, giá trị \( C \) sẽ tiến đến \( 0 \) khi \( 2x + 1 \) tăng lên vô cùng (từ dưới lên một cách dương).

Để thuận lợi trong việc tìm GTNN, chúng ta sẽ phân tích hai trường hợp:
1. **Trường hợp khi \( 2x + 1 > 0 \)**:
- Ta tìm giá trị nhỏ nhất của \( 2x + 1 \). Khi \( x = 0 \), \( 2x + 1 = 1 \). Như vậy, \( C = 1 \).

2. **Trường hợp khi \( 2x + 1 < 0 \)**:
- Trong trường hợp này, giá trị của \( C \) sẽ âm và cụ thể hơn sẽ là \( C \to -\infty \) khi \( 2x + 1 \) tiến gần về \( 0 \) từ phía âm.

Từ các phân tích trên, ta có:
- Giá trị nhỏ nhất của \( C \) không có giới hạn dưới do hàm có thể mang giá trị âm vô hạn. Tuy nhiên, trong miền các giá trị dương của \( C \), giá trị nhỏ nhất là \( 1 \) khi \( x = 0 \).

**Kết luận**: Giá trị nhỏ nhất của \( C = \frac{1}{2x + 1} \) trên tập \( x \) là số nguyên là không giới hạn và có thể xấp xỉ đến âm vô hạn.