Rút gọn biểu thức sau

Để rút gọn biểu thức \((1 - \sqrt{3})^2 - \sqrt{24 + 12\sqrt{3}}\), ta tiến hành từng bước như sau:

1. **Tính \((1 - \sqrt{3})^2\)**:
\[
(1 - \sqrt{3})^2 = 1 - 2\sqrt{3} + 3 = 4 - 2\sqrt{3}
\]

2. **Tính \(\sqrt{24 + 12\sqrt{3}}\)**:
Để tính biểu thức dưới căn, ta đặt:
\[
\sqrt{24 + 12\sqrt{3}} = \sqrt{(a + b)^2} = a + b
\]
với \(a\) và \(b\) là các số thực. Ta có:
\[
a^2 + 2ab + b^2 = 24
\]
và
\[
2ab = 12\sqrt{3} \implies ab = 6\sqrt{3}
\]

Giả sử \(a = x\) và \(b = y\) với \(ab = 6\sqrt{3}\). Ta thử với \(a = 3\sqrt{3}\) và \(b = 2\):
\[
a + b = 3\sqrt{3} + 2
\]

Kiểm tra:
\[
(3\sqrt{3})^2 + 2^2 + 2(3\sqrt{3})(2) = 27 + 4 + 12\sqrt{3} = 31 + 12\sqrt{3} \text{ (không đúng)}
\]

Chúng ta thử \(a = 2\sqrt{3}\) và \(b = 6\):
\[
(2\sqrt{3} + 6)^2 = (2\sqrt{3})^2 + 6^2 + 2(2\sqrt{3})(6) = 12 + 36 + 24\sqrt{3}
\]
Điều này cũng không đúng.

Cuối cùng, suy nghĩ lại, ta nhận ra:
\[
\sqrt{24 + 12\sqrt{3}} = 6 + 3\sqrt{3}
\]

3. **Kết hợp hai kết quả lại**:
Ta có biểu thức ban đầu là:
\[
4 - 2\sqrt{3} - (6 + 3\sqrt{3})
\]

Rút gọn:
\[
4 - 2\sqrt{3} - 6 - 3\sqrt{3} = -2 - 5\sqrt{3}
\]

Vậy biểu thức đã rút gọn là:
\[
\boxed{-2 - 5\sqrt{3}}
\]