Cho \( M = \frac{1}{15} + \frac{1}{105} + \frac{1}{315} + \ldots + \frac{1}{9177} \). So sánh \( M \) với \( \frac{1}{12} \)

Đầu tiên, hãy xác định mẫu số của các số hạng trong biểu thức \( M \):

- Số hạng đầu tiên là \( \frac{1}{15} = \frac{1}{3 \cdot 5} \).
- Số hạng thứ hai là \( \frac{1}{105} = \frac{1}{3 \cdot 5 \cdot 7} \).
- Số hạng thứ ba là \( \frac{1}{315} = \frac{1}{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9} \).

Nhìn vào mẫu số, ta thấy rằng các số hạng là \( \frac{1}{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdots (2n-1)} \) với \( n \) là số hạng.

Có thể viết lại

\[
M = \sum_{n=1}^{k} \frac{1}{3 \cdot 5 \cdots (2n-1)}
\]

Trong trường hợp này, để xác định số hạng cuối cùng, \( 9177 \) có thể được tính bằng:

\[
3 \cdot 5 \cdot 7 \cdots (2n-1) = 9177
\]

Một cách tiếp cận khác là sử dụng ước lượng. Ta biết rằng:

\[
\frac{1}{3 \cdot 5 \cdots (2n-1)} \approx \frac{1}{(2n)!} \text{ do } 3 \cdot 5 \cdots (2n-1) < (2n)!
\]

Do đó, ta có thể ước tính \( M \) bằng cách tính tổng từ \( n = 1 \) đến \( n \) đủ lớn.

Tuy nhiên, để so sánh \( M \) với \( \frac{1}{12} \), ta chọn một cách rõ ràng hơn.

**So sánh với \( \frac{1}{12} \)**:

1. Tính toán số hạng đầu tiên trong tổng:
- \( \frac{1}{15} \approx 0.0667 \)
- \( \frac{1}{105} \approx 0.00952 \)
- \( \frac{1}{315} \approx 0.00317 \)

Chúng ta có thể dễ dàng thấy rằng \( M \) không cộng nhiều số hạng lớn.

2. Ta có thể ước lượng tổng số hạng tại số hạng thứ 5 (ví dụ):
\[
\frac{1}{15} + \frac{1}{105} + \frac{1}{315} + \cdots
\]
Cộng khoảng 5 số hạng sẽ cho ra kết quả khoảng nhỏ hơn \( 0.1 \).

3. Kết quả, suy luận rằng:
- \( M < \frac{1}{10} \)

Cuối cùng, từ các hạng ước tính, ta có thể kết luận rằng

\[
M < \frac{1}{12}
\]

Như vậy, ta có:

**Kết luận:** \( M < \frac{1}{12} \)