Cho \( M = \frac{1}{15} + \frac{1}{105} + \frac{1}{315} + \ldots + \frac{1}{9177} \). So sánh \( M \) với \( \frac{1}{12} \)

Để tính \( M = \frac{1}{15} + \frac{1}{105} + \frac{1}{315} + \ldots + \frac{1}{9177} \), ta trước tiên cần phân tích dãy số trong mẫu số.

Các số trong mẫu số đều có thể được biểu diễn dưới dạng \( 15n(n+1) \) với \( n \) bắt đầu từ \( 1 \) đến một giá trị nào đó mà giá trị cuối cùng vẫn nằm trong giới hạn là \( 9177 \).

### Tìm giá trị \( n \):
Ta cần giải:
\[
15n(n+1) \leq 9177
\]
\[
n(n+1) \leq \frac{9177}{15} = 611.8
\]

Giải phương trình gần đúng để tìm \( n \):
\[
n^2 + n - 611 = 0
\]
Dùng công thức nghiệm:
\[
n = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 611}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{2445}}{2}
\]
\[
\sqrt{2445} \approx 49.45 \implies n \approx \frac{48.45}{2} \approx 24.22
\]
Vậy \( n \) tối đa là \( 24 \).

### Tính tổng \( M \):
Vậy \( M \) có thể viết lại thành:
\[
M = \sum_{n=1}^{24} \frac{1}{15n(n+1)} = \frac{1}{15} \sum_{n=1}^{24} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) = \frac{1}{15} \left( 1 - \frac{1}{25} \right) = \frac{1}{15} \cdot \frac{24}{25} = \frac{24}{375}
\]
Rút gọn:
\[
M = \frac{8}{125}
\]

### So sánh với \( \frac{1}{12} \):
Ta cần so sánh \( \frac{8}{125} \) với \( \frac{1}{12} \).

Tính giá trị đều quy về mẫu số chung là \( 300 \):
\[
\frac{8}{125} = \frac{8 \cdot 24}{125 \cdot 24} = \frac{192}{300}
\]
\[
\frac{1}{12} = \frac{25}{300}
\]

### Kết luận:
\[
192 > 25 \implies M > \frac{1}{12}
\]

Do đó, \( M \) lớn hơn \( \frac{1}{12} \).