Để tìm giá trị của \( x \) trong từng bài toán, ta sẽ giải từng phần một:

**a)** Giải phương trình:

\[ 3(5^x - 15) - 52 = 68 \]

Bước 1: Cộng 52 vào cả hai vế:

\[ 3(5^x - 15) = 68 + 52 \]

\[ 3(5^x - 15) = 120 \]

Bước 2: Chia cả hai vế cho 3:

\[ 5^x - 15 = 40 \]

Bước 3: Cộng 15 vào cả hai vế:

\[ 5^x = 55 \]

Bước 4: Lấy logarit cơ số 5:

\[ x = \log_5{55} \]

**b)** Tính giá trị bày phương trình:

\[ \frac{2^3 + [1+(3-1)^2]}{x} = 13 \]

Bước 1: Tính từng phần:

- \( 2^3 = 8 \)
- \( (3 - 1)^2 = 2^2 = 4 \)
- \( 1 + 4 = 5 \)

Bước 2: Cộng các giá trị lại:

\[ 8 + 5 = 13 \]

Bước 3: Thay vào phương trình:

\[ \frac{13}{x} = 13 \]

Bước 4: Nhân chéo:

\[ 13 = 13x \]

Bước 5: Chia cho 13:

\[ x = 1 \]

**c)** Giải bất phương trình:

\[ 32 < 2^x < 512 \]

Bước 1: Chuyển đổi các số về dạng lũy thừa của 2:

- \( 32 = 2^5 \)
- \( 512 = 2^9 \)

Bước 2: Thay vào bất phương trình:

\[ 5 < x < 9 \]

Vậy \( x \) có thể nhận các giá trị nguyên là \( 6, 7, 8 \).

**d)** Để tìm chữ số cần thay vào chỗ trống trong số \( 23x5 \) sao cho chia hết cho 9, ta cần tính tổng các chữ số của số đó.

Bước 1: Tính tổng chữ số:

\[ 2 + 3 + x + 5 = 10 + x \]

Bước 2: Số đó chia hết cho 9 nếu tổng chữ số chia hết cho 9. Ta giải phương trình \( 10 + x \equiv 0 \mod 9 \).

Bước 3: Tính giá trị của \( 10 + x \):

\[ 10 + x = 9k \text{ (với } k \text{ là nguyên dương)} \]

Ta có \( 10 + x \equiv 1 \mod 9 \), tức là \( x \equiv -1 \equiv 8 \mod 9 \).

Do đó, \( x \) có thể nhận giá trị 8.

Tóm lại:

- a) \( x = \log_5{55} \)
- b) \( x = 1 \)
- c) \( 6 < x < 9 \) (các giá trị nguyên là 6, 7, 8)
- d) \( x = 8 \)