Để giải bài toán về tam giác ABC vuông tại A, có các cạnh **AB = 2 cm** và **BC = 4 cm**, ta thực hiện từng bước như sau:

### a) Tính góc B và cạnh AC

1. **Tính cạnh AC:**
Theo định lý Pitago trong tam giác vuông, ta có:
\[
AC^2 + AB^2 = BC^2
\]
Thay số vào:
\[
AC^2 + 2^2 = 4^2
\]
\[
AC^2 + 4 = 16
\]
\[
AC^2 = 16 - 4 = 12
\]
\[
AC = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \text{ cm}
\]

2. **Tính góc B:**
Ta sử dụng định nghĩa của hàm tang:
\[
\tan B = \frac{AC}{AB}
\]
Thay số vào:
\[
\tan B = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}
\]
Từ đó, góc B có:
\[
B = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = 60^\circ
\]

### b) Tính độ dài các đoạn thẳng trong hình vẽ và chứng minh các đẳng thức

1. **Chứng minh \( DK = DH \cdot \sin BCK \):**
Để làm điều này, bạn cần tính các góc và các cạnh liên quan đến điểm H và điểm K, nhưng sẽ phụ thuộc vào hình vẽ cụ thể.

### c) Tính diện tích của tam giác ABE

Diện tích của tam giác ABE được tính bằng công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin B
\]
Thay các giá trị đã tính vào:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (2\sqrt{3}) \cdot \sin(60^\circ)
\]
Với \( \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \):
\[
S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (2\sqrt{3}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 = 3 \text{ cm}^2
\]

Vậy diện tích của tam giác ABE là \( 3 \text{ cm}^2 \).