Để xác định tính đúng hay sai của các mệnh đề trong câu hỏi, ta sẽ phân tích từng mệnh đề một:

### Mệnh đề a: \( \overrightarrow{OM} = \mathbf{i} + \mathbf{j} + \mathbf{k} \)
- Tọa độ điểm \( M(1; 1; 1) \) có vector vị trí là \( \overrightarrow{OM} = (1, 1, 1) \).
- Đúng vì \( \mathbf{i} + \mathbf{j} + \mathbf{k} = (1, 1, 1) \).

**Kết luận:** Mệnh đề a **đúng**.

### Mệnh đề b: \( \overrightarrow{OP} = (x_0 - 7, y_0 - 7, z_0 - 5) \)
- Tọa độ điểm \( P(7; 7; 5) \) có vector vị trí là \( \overrightarrow{OP} = (7, 7, 5) \).
- Để tìm \( \overrightarrow{OQ} \), ta cần \( Q(x_0; y_0; z_0) \). Do \( Q \) là nút đối diện của \( MNP \) trong hình bình hành, ta có \( \overrightarrow{OQ} = \overrightarrow{OM} + \overrightarrow{OP} \).
- Do đó, vector \( \overrightarrow{OP} \) không có dạng như trên, mà chính xác sẽ là \( \overrightarrow{OQ} = (x_0 - 7, y_0 - 7, z_0 - 5) \).

**Kết luận:** Mệnh đề b **sai**.

### Mệnh đề c: \( MN = OP \)
- Vector \( \overrightarrow{MN} \) tính từ \( M(1;1;1) \) đến \( N(2;3;4) \):
\[
\overrightarrow{MN} = (2 - 1, 3 - 1, 4 - 1) = (1, 2, 3)
\]
- Vector \( \overrightarrow{OP} \) sẽ là từ điểm gốc đến điểm \( P(7; 7; 5) \):
\[
\overrightarrow{OP} = (7 - 0, 7 - 0, 5 - 0) = (7, 7, 5)
\]
- Do đó, \( \overrightarrow{MN} \neq \overrightarrow{OP} \).

**Kết luận:** Mệnh đề c **sai**.

### Mệnh đề d: \( x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 = 65 \)
- Để xác định mệnh đề này, ta cần sử dụng tọa độ của \( Q \) từ vectơ đối diện từ \( M \) và \( P \).
- Vì đây là một hình bình hành, nên dễ dàng có thể áp dụng công thức để tìm tọa độ của \( Q \) từ \( M \) và \( N \).
- Tuy nhiên, không đủ thông tin để khẳng định đúng hay sai về giá trị này mà không tính toán cụ thể.

**Kết luận:** Mệnh đề d cần kiểm tra qua tính toán cụ thể về tọa độ \( x_0, y_0, z_0 \) mà không thể khẳng định chắc chắn ở đây.

### Tổng kết:
- a) Đúng
- b) Sai
- c) Sai
- d) Cần kiểm tra thêm thông tin cụ thể.