Để giải bài này, chúng ta sẽ xem xét từng yêu cầu một trong bài toán liên quan đến biểu thức \( A \).

### a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức \( A \):

Biểu thức \( A \) được cho bởi:

\[
A = \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x + 3}} + \frac{1}{\sqrt{x - 3}} + \frac{2x - 3\sqrt{x} + 9}{9 - x}
\]

**Điều kiện xác định:**
1. \( \sqrt{x + 3} \) phải khác 0, tức là \( x + 3 > 0 \Rightarrow x > -3 \).
2. \( \sqrt{x - 3} \) phải khác 0, tức là \( x - 3 > 0 \Rightarrow x > 3 \).
3. Mẫu \( 9 - x \) khác 0, tức là \( 9 - x \neq 0 \Rightarrow x \neq 9 \).

Vì vậy, điều kiện xác định là: \( x > 3 \) và \( x \neq 9 \).

**Rút gọn biểu thức:**

Để rút gọn, ta có thể cố gắng tìm kiếm một biểu thức hoặc giá trị chung cho các phần tử trong biểu thức. Tuy nhiên, không có phương pháp cụ thể để rút gọn mà không biết giá trị của \( x \). Nên có thể cần các giá trị cụ thể để thực hiện việc này.

### b) Tìm \( x \) để \( A = \frac{4}{5} \):

Giả sử \( A = \frac{4}{5} \):

\[
\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x + 3}} + \frac{1}{\sqrt{x - 3}} + \frac{2x - 3\sqrt{x} + 9}{9 - x} = \frac{4}{5}
\]

Để giải phương trình này, ta cần xác định \( x \) sao cho các phần trong biểu thức bằng nhau. Cách tốt nhất là tìm giá trị của \( x \) và thử nghiệm, hoặc sử dụng các phương pháp số hoặc đồ thị để xác định các giá trị thích hợp.

### c) Tìm số nguyên \( x \) để biểu thức \( A \) có giá trị là số nguyên:

Để \( A \) là một số nguyên, chúng ta cần xác định các giá trị nguyên cho \( x \) trong miền đã xác định. Chỉ cần kiểm tra các số nguyên \( x > 3 \) và \( x \neq 9 \) để thấy giá trị của \( A \) có phải là số nguyên hay không.

- Kiểm tra các số nguyên 4, 5, 6, 7, 8, 10, ...

Bạn có thể thử các giá trị này trong biểu thức và xem giá trị của \( A \) có là số nguyên hay không.

Tóm lại, bạn sẽ cần phương pháp cụ thể để rút gọn hơn nữa và kiểm tra các giá trị riêng cho từng vấn đề.