Để chứng minh hai yêu cầu đã nêu trong hình thang cân ABCD, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau:

**a) Chứng minh OA = OB và OC = OD**

1. **Định nghĩa về hình thang cân:**
- Hình thang cân ABCD là một hình thang mà hai cạnh bên (AD, BC) là bằng nhau và hai cạnh đáy (AB và CD) song song.

2. **Vẽ đường chéo:**
- Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

3. **Sử dụng tính chất của hình thang cân:**
- Bởi vì AB // CD và AD = BC, các tam giác OAB và OCD là các tam giác đồng dạng (theo tiêu chí góc-góc).
- Do đó, ta có:
\[
\frac{OA}{OB} = \frac{OC}{OD}
\]

4. **Căn cứ vào các cạnh đáy:**
- Vì AB // CD và O là giao điểm, từ đó suy ra OA = OB và OC = OD (do tam giác OAB và OCD có cạnh đáy tương tự và chiều cao bằng nhau).

5. **Kết luận:**
- Như vậy, OA = OB và OC = OD.

**b) Chứng minh EO là đường trung trực của AB và CD**

1. **Xác định E:**
- E là giao điểm giữa hai cạnh bên AD và BC.

2. **Chứng minh EO ⊥ AB và EO ⊥ CD:**
- Từ tính chất của hình thang cân, đoạn thẳng EO chia đều chiều dài AB và CD.
- Như đã chứng minh ở phần trên, vì O là điểm giữa của hai đoạn thẳng AB và CD nên OE sẽ chia đều AB và CD.

3. **Chứng minh rằng:**
- OA = OB và OC = OD, từ đó suy ra rằng EO được vẽ sẽ chia đều AB và CD, do đó là đường trung trực.

4. **Kết luận:**
- EO vừa là đường trung trực của AB vừa là đường trung trực của CD.

Cuối cùng, chúng ta có thể vẽ hình thang cân ABCD với các đường chéo AC và BD cắt nhau tại O, và hai cạnh bên AD và BC cắt nhau tại E, cùng với việc thể hiện các đoạn thẳng OA, OB, OC, OD và EO.

Hình vẽ sẽ như sau:

```
A___________________B
/ \
/ \
D______________________C
```

- O là giao điểm của AC và BD.
- E là giao điểm của AD và BC.
- OA = OB và OC = OD.
- EO là đường trung trực của cả AB và CD.

Vậy, chúng ta đã chứng minh được hai yêu cầu trong hình thang cân.