Chúng ta sẽ giải bài toán theo từng phần một.

### Phần 1: Chứng minh MHQK là hình chữ nhật

Cho tam giác MNP vuông tại M. Ta có:

- MQ là đường cao từ Q và H thuộc MP, do đó MQ vuông góc với MP.
- QK vuông góc với MN, nghĩa là QK vuông góc với một cạnh của tam giác vuông.

Vì MQ vuông góc với MP (tức là QH vuông góc với MP) và QK vuông góc với MN, nên ta có:

- Tứ giác MHQK có ba cạnh là MQ, QH, và QK vuông góc với nhau.

Do đó, các góc tại H và K đều bằng 90 độ, nghĩa là MHQK có 4 góc vuông. Từ đó, ta kết luận rằng MHQK là hình chữ nhật.

### Phần 2: Chứng minh AHBK là hình chữ nhật

a. Xét tam giác nhọn ABC với AH là đường cao. Gọi I là trung điểm của AB. Vì IH = IK (K nằm trên tia đối của IH), ta có:

- IH = IK sẽ tạo thành đường thẳng AH = AK vuông góc với BH vì AH vuông góc với BH khi A và B nằm ở cùng một phía theo chiều cao.

Khi đó ta có:
- Tam giác AHB và KHB đều có cạnh đoạn AH = AK vuông góc với BH. => AHBK có bốn góc vuông và là hình chữ nhật.

b. Kẻ IM vuông góc với BH tại M và D sao cho M là trung điểm của ID:

Trên đoạn IM, ta có M là trung điểm của ID, do đó IM = MD.

Để chứng minh BIHD là hình thoi, ta cần chứng minh:
- Hai cạnh BI và HD bằng nhau.
- Hai cạnh BH và DI bằng nhau.

Thật vậy:
- Vì IM = MD và BM = MH, ta có BI = ID.
- Do M là trung điểm của ID, nên BM = MH, do đó BH = ID (vì các cạnh vuông góc tạo thành một cặp bằng nhau).

Từ đó, ta rút ra BI = HD và BH = DI.

=> BIHD là hình thoi.

Hy vọng bài giải giúp bạn hiểu và chuẩn bị tốt cho kỳ thi sắp tới! Chúc bạn thành công!