Để chứng minh rằng tổng \( S = 1 + 3 + 3^2 + 3^3 + \ldots + 3^{2024} \) chia hết cho 13, ta có thể sử dụng công thức tổng của một cấp số nhân.

Cấp số nhân mà ta đang xét là:

\[
S = 1 + 3 + 3^2 + 3^3 + \ldots + 3^{2024}
\]

Tổng này có số hạng đầu là \( a = 1 \), số hạng cuối là \( 3^{2024} \), và công bội \( q = 3 \).

Số hạng lớn nhất có chỉ số là \( n = 2024 \), do đó tổng \( S \) có thể tính bằng công thức:

\[
S = \frac{a(q^{n+1} - 1)}{q - 1} = \frac{1(3^{2025} - 1)}{3 - 1} = \frac{3^{2025} - 1}{2}
\]

Chúng ta cần kiểm tra xem \( S \mod 13 \) có bằng 0 hay không.

Trước tiên, ta sẽ tính \( 3^{2025} \mod 13 \) bằng cách sử dụng định lý Fermat. Theo định lý Fermat, nếu \( p \) là một số nguyên tố thì:

\[
a^{p-1} \equiv 1 \mod p
\]

với \( a \) không chia hết cho \( p \). Ở đây, \( p = 13 \) và \( a = 3 \), ta có:

\[
3^{12} \equiv 1 \mod 13
\]

Bây giờ, ta sẽ tìm \( 2025 \mod 12 \) để đơn giản hóa tính toán:

\[
2025 \div 12 = 168 \quad \text{và} \quad 2025 - 12 \times 168 = 9
\]

Vậy \( 2025 \mod 12 = 9 \). Do đó:

\[
3^{2025} \equiv 3^9 \mod 13
\]

Tiếp theo, ta tính \( 3^9 \mod 13 \):

\[
3^1 \equiv 3 \\
3^2 \equiv 9 \\
3^3 \equiv 27 \equiv 1 \mod 13 \\
3^4 \equiv 3 \\
3^5 \equiv 9 \\
3^6 \equiv 1 \\
3^7 \equiv 3 \\
3^8 \equiv 9 \\
3^9 \equiv 1 \mod 13
\]

Vậy:

\[
3^9 \equiv 1 \mod 13
\]

Do đó:

\[
3^{2025} \equiv 1 \mod 13
\]

Quay lại với tổng \( S \):

\[
S = \frac{3^{2025} - 1}{2} \equiv \frac{1 - 1}{2} \equiv 0 \mod 13
\]

Rút ra kết luận:

\[
S \equiv 0 \mod 13
\]

Như vậy, tổng \( S = 1 + 3 + 3^2 + \ldots + 3^{2024} \) chia hết cho 13.