Để tìm chữ số tận cùng của biểu thức \( S = 2^1 + 3^5 + 4^9 + \ldots + n^{4(n-2)} + 1 \), trước tiên chúng ta cần xác định rõ các số hạng trong biểu thức.

Ta có số hạng tổng quát là \( k^{4(k-2)} \) với \( k \) bắt đầu từ 2 đến \( n \). Cụ thể:

- Khi \( k = 2 \): \( 2^{4(2-2)} = 2^0 = 1 \)
- Khi \( k = 3 \): \( 3^{4(3-2)} = 3^4 = 81 \)
- Khi \( k = 4 \): \( 4^{4(4-2)} = 4^8 = 65536 \)

Tiếp tục như vậy cho các giá trị \( k = 5, 6, \ldots, n \).

Vậy chúng ta cần tìm chữ số tận cùng của tổng \( S = 1 + 81 + 65536 + \ldots + n^{4(n-2)} + 1 \).

Để đơn giản, chúng ta sẽ tìm chữ số tận cùng của từng số hạng trước khi cộng lại.

1. **Chữ số tận cùng của \( 2^1 \)**: Chữ số tận cùng là 2.
2. **Chữ số tận cùng của \( 3^5 \)**:
- Chữ số tận cùng của \( 3^1 \) là 3.
- Chữ số tận cùng của \( 3^2 \) là 9.
- Chữ số tận cùng của \( 3^3 \) là 7.
- Chữ số tận cùng của \( 3^4 \) là 1.
- Chữ số tận cùng của \( 3^5 \) (sau chu kỳ 4) là 3.
3. **Chữ số tận cùng của \( 4^9 \)**:
- Chữ số tận cùng của \( 4^1 \) là 4.
- Chữ số tận cùng của \( 4^2 \) là 6. (rồi có chu kỳ 2)
- Vì \( 9 \mod 2 = 1 \), nên chữ số tận cùng của \( 4^9 \) là 4.
4. **Chữ số tận cùng của số hạng tiếp theo**:
- Tương tự phân tích cho số hạng \( k = 5 \) đến \( n \).

Sau khi tìm chữ số tận cùng, chúng ta cộng lại và lấy chữ số tận cùng của tổng.

Cuối cùng, chữ số tận cùng của toàn bộ biểu thức cần đơn giản hóa là:

\[
S_{last} = (2 + 1) + 3 + 4 + (hạng tồn dư từ k=5 đến k=n)
\]

Và cuối cùng, chữ số tận cùng của tất cả sẽ là \( S_{last} \mod 10 \).

Để đưa ra một kết luận cuối cùng, do tính phức tạp trong việc tính tổng cho \( n \) lớn, kết quả chữ số tận cùng cần tính toán cụ thể cho mỗi n, nhưng ví dụ cho \( n = 3 \) sẽ cho ra tính được là 3, nhưng giá trị cuối cùng sẽ phụ thuộc vào \( n \).

Tóm lại, để có được giá trị cụ thể hơn, bạn cần tính từng số hạng cho \( k \) từ 2 cho đến \( n \) và cộng chữ số tận cùng lại như đã hướng dẫn.