Để giải bài toán, ta sẽ phân tích từng yêu cầu:

### a) Chứng minh \( a \parallel b \)

1. **Tính góc \( CDB \)**:
- Ta có \( \angle ABD = 70^\circ \) và \( \angle DAB = 70^\circ \).
- Giả sử \( \angle CDB = x \), từ đó ta có \( \angle ADB = 180^\circ - x \).
- Từ tam giác \( ADB \):
\[
\angle ADB + \angle DAB + \angle ABD = 180^\circ
\]
\[
(180^\circ - x) + 70^\circ + 70^\circ = 180^\circ
\]
\[
180^\circ - x + 140^\circ = 180^\circ \Rightarrow -x + 140^\circ = 0 \Rightarrow x = 140^\circ
\]
- Vậy \( \angle CDB = 140^\circ \).

2. **Kiểm tra tính song song**:
- Tia \( Am \) tạo với \( CAB \) góc \( 30^\circ \), tức \( \angle CAM = 30^\circ \).
- Ta có \( \angle ACB + \angle CAB = 180^\circ \).
- \( \angle ACB = 70^\circ + 30^\circ + \angle DCB \). Do đó, ta có:
\[
70^\circ + 30^\circ + \angle DCB = 180^\circ \Rightarrow \angle DCB = 80^\circ
\]
- Từ đó, \( \angle DCB + \angle CDB = 180^\circ \).
- Suy ra \( a \parallel b \) (cùng phía với nhau).

### b) Tính số đo của \( \angle CDB \)

- Như đã tính ở trên:
\[
\angle CDB = 140^\circ
\]

### c) Tính số đo của \( \angle AOB \)

1. **Tính góc \( \angle AOB \)**:
- Ta đã biết \( a \parallel b \) và \( Am \) cắt \( Bn \).
- Theo tính chất góc đồng vị, ta có:
\[
\angle AOB = \angle AMB \text{ và } \angle AMB + \angle CDB = 180^\circ
\]
- Từ đó, \( \angle AOB = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ \).

### Kết luận
- a) \( a \parallel b \)
- b) \( \angle CDB = 140^\circ \)
- c) \( \angle AOB = 40^\circ \)