1. **Tứ giác ADME là hình gì? Vì sao?**

Tứ giác ADME là hình chữ nhật. Vì D và E là hình chiếu của điểm M trên các cạnh AB và AC, nên các góc ADM và AEM đều bằng 90 độ. Hơn nữa, AD và ME đều vuông góc với AC (AB) và AC (AB) nên các cạnh AD và ME song song với nhau, đồng thời DE cũng song song và bằng nhau trong độ dài với AM. Do đó, theo định nghĩa hình chữ nhật, tứ giác ADME là một hình chữ nhật.

2. **Gọi I là trung điểm của DE. Chứng minh ba điểm A, I, M thẳng hàng.**

Để chứng minh ba điểm A, I, M thẳng hàng, ta có thể xem xét các vector liên quan. Ta biết rằng D và E là hình chiếu của M trên AB và AC, nên:

- Vector \( \overrightarrow{AD} \) vuông góc với \( \overline{AB} \) và vector \( \overrightarrow{AE} \) vuông góc với \( \overline{AC} \).

- Tọa độ của M có thể biểu diễn như một tỉ lệ giữa D và E khi M di chuyển theo cạnh BC.

Khi I là trung điểm của DE, ta có:

\( \overrightarrow{AI} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE}) \),

M lại nằm trên cạnh BC, do đó M có thể được coi là một yếu tố phụ thuộc vào độ dài tỉ lệ của AD và AE. Do đó, điểm I sẽ nằm trên đường thẳng nối giữa điểm A và điểm M, chứng minh rằng A, I, và M thẳng hàng.

3. **Điểm M ở vị trí nào trên cạnh BC thì DE có độ dài nhỏ nhất? Tính độ dài nhỏ nhất đó, biết AB = 2cm.**

Để DE có độ dài nhỏ nhất, điểm M nên nằm ở vị trí vuông góc với AD và AE. Khi M di chuyển đến điểm thẳng đứng với A trên BC, tức là hình chiếu của M trên BC tạo thành một hình chữ nhật với các cạnh AD và DE.

Trong trường hợp này, DE sẽ có độ dài nhỏ nhất bằng \( AB \) (vì AB vuông góc với AC trong tam giác vuông cân).

Từ đó, DE sẽ có độ dài nhỏ nhất bằng \( DE = AB \cdot \sin(45°) \):

\[
DE = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \approx 1.41 \text{ cm}.
\]

Do đó, điểm M ở vị trí vuông góc với A sẽ khiến DE có độ dài nhỏ nhất là khoảng 1.41 cm.