Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm M trên đường chéo BD sao cho MB =1/2MD. Vẽ MN vuông góc với AB tại N, MP vuông góc với AD tại P. Gọi Q là giao của PM và BC

Để giải bài toán hình học này, ta sẽ vẽ hình vuông ABCD với các điểm M, N, P, Q theo mô tả. Giả sử A(0, 1), B(1, 1), C(1, 0), D(0, 0).

Do MB = 1/2MD, ta có thể tính tọa độ điểm M trên đường chéo BD.

1. **Tìm tọa độ điểm M**:
- Đường chéo BD có phương trình: y = 1 - x.
- Gọi M có tọa độ (x, 1 - x).
- Vì MB = 1/2MD, ta tính độ dài MB và MD:
- MB = sqrt((x - 1)² + (1 - x - 1)²) = sqrt((x - 1)² + (-x)²) = sqrt(2(x - 1)²).
- MD = sqrt((x - 0)² + (1 - x - 0)²) = sqrt(x² + (1 - x)²) = sqrt(2x² - 2x + 1).
- Theo điều kiện MB = 1/2MD, ta có:
\[
\sqrt{2(x - 1)²} = \frac{1}{2} \sqrt{(2x² - 2x + 1)}
\]
- Giải phương trình này để tìm x, từ đó tìm được tọa độ M.

2. **Vẽ MN vuông góc với AB tại N**:
- Tọa độ điểm N là (x_N, 1), với x_N = x.
- MN sẽ thẳng đứng vì điểm N nằm trên AB.

3. **Vẽ MP vuông góc với AD tại P**:
- Tọa độ P sẽ theo phương trình: P (0, y_P) lấy từ đường thẳng x = 0.

4. **Tìm giao điểm Q giữa PM và BC**:
- Lập phương trình đường thẳng PM rồi giải với đường thẳng BC.

### a) Tính tỉ số NB/NA:
Sau khi tìm được tọa độ điểm N và A, B, chúng ta có thể tính:
\[
NB = |y_N - y_B| = |(1) - (1)| = 0
\]
\[
NA = |y_N - y_A| = |(1) - (1)| = 0
\]
Nên tỉ số:
\[
\frac{NB}{NA} = \text{không xác định hoặc không có giá trị}.
\]

### b) Chứng minh các tứ giác ANMP, ABQP là hình chữ nhật:
- **Tứ giác ANMP**:
- MN vuông góc với AB: AN và MP là hai cạnh vuông góc với nhau và TN = AM.
- Nên ANMP là hình chữ nhật.

- **Tứ giác ABQP**:
- PM vuông góc với AD và AB là bậc thang vuông góc, cũng như BP trong tứ giác này.
- Nên ABQP cũng là hình chữ nhật.

### c) Tứ giác BQMN là hình gì?:
- Tứ giác BQMN có các cạnh BQ và MN song song và BQ và BM vuông góc.
- Nên BQMN là hình bình hành và cũng có thể là hình chữ nhật phụ thuộc vào tọa độ của các điểm.

### d) Vẽ AE vuông góc với QN tại E và chứng minh rằng góc BEP=90°, biểu thị đặc điểm tại điểm E.
- Để chứng minh rằng góc BEP = 90°, ta cần cho rằng AE vuông góc với QN.
- Xác định tọa độ các điểm và thực hiện phép toán vectơ:
\[
\text{Xác định phương trình đường thẳng BE và ved AE}.
\]
- Dùng tích vô hướng để kiểm tra nếu phương trình giữ BQ và EP vuông góc:
\[
BE \cdot EP = 0.
\]
Kết quả xác nhận nếu phương trình này đúng thì góc cần chứng minh là 90 độ.

Nếu cần hướng dẫn chi tiết hơn hoặc cụ thể hơn về một phần nào, hãy cho tôi biết!