Để tìm giá trị \( m \) sao cho phương trình \( x^2 - 2x - m = 0 \) có 2 nghiệm phân biệt \( x_1 \) và \( x_2 \) thỏa mãn điều kiện \( x_1^2 + x_2^2 + x_1 + x_2 = 2024 \), ta thực hiện các bước sau:

1. **Sử dụng định lý Viète**: Gọi:
- S = \( x_1 + x_2 \)
- P = \( x_1 x_2 \)

Theo định lý Viète, ta có:
\[
S = 2 \quad (1)
\]
và
\[
P = -m \quad (2)
\]

2. **Thay vào điều kiện cần tìm**:
Biểu thức \( x_1^2 + x_2^2 \) có thể được tính bằng cách sử dụng công thức:
\[
x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = S^2 - 2P
\]

Thay \( S \) và \( P \) vào ta có:
\[
x_1^2 + x_2^2 = 2^2 - 2(-m) = 4 + 2m
\]

Thay vào phương trình:
\[
4 + 2m + S = 2024
\]
Với \( S = 2 \):
\[
4 + 2m + 2 = 2024
\]

3. **Giải phương trình**:
\[
6 + 2m = 2024
\]
\[
2m = 2024 - 6 = 2018
\]
\[
m = \frac{2018}{2} = 1009
\]

4. **Kiểm tra điều kiện có 2 nghiệm phân biệt**: Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt, điều kiện cần là:
\[
\Delta > 0
\]
với \( \Delta = b^2 - 4ac \):
\[
\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-m) = 4 + 4m
\]
Khi \( m = 1009 \):
\[
\Delta = 4 + 4 \cdot 1009 = 4 + 4036 = 4040 > 0
\]

Vậy, giá trị của \( m \) thỏa mãn điều kiện là:
\[
\boxed{1009}
\]