Để tìm giá trị của \(m\) cho các phương trình đã cho, ta sẽ phân tích từng phương trình một.

### a) Phương trình \( \cos x - 2m = 0 \)

Phương trình này có thể viết lại là:

\[
\cos x = 2m
\]

Giá trị của hàm cosin nằm trong khoảng \([-1, 1]\). Do đó, để phương trình có nghiệm (tức là tồn tại giá trị \(x\) sao cho \(\cos x = 2m\)), ta cần:

\[
-1 \leq 2m \leq 1
\]

Chia cả hai vế của bất đẳng thức cho 2, ta có:

\[
-\frac{1}{2} \leq m \leq \frac{1}{2}
\]

Vậy giá trị của \(m\) để phương trình \(\cos x - 2m = 0\) có nghiệm là:

\[
m \in \left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]
\]

### b) Phương trình \( 2\sin x + m = 0 \)

Phương trình này có thể viết lại là:

\[
2\sin x = -m
\]

Tương tự, hàm sin cũng có giá trị nằm trong khoảng \([-1, 1]\). Do đó, để phương trình có nghiệm, ta cần:

\[
-1 \leq \sin x \leq 1 \implies -1 \leq -\frac{m}{2} \leq 1
\]

Sau khi nhân cả hai vế của bất đẳng thức thứ hai với -1 (nhớ đổi chiều bất đẳng thức), ta có:

\[
-1 \leq -\frac{m}{2} \implies m \leq 2
\]
\[
-\frac{m}{2} \leq 1 \implies m \geq -2
\]

Kết luận là giá trị của \(m\) để phương trình \(2\sin x + m = 0\) có nghiệm là:

\[
m \in [-2, 2]
\]

### Tóm lại
- Để phương trình \( \cos x - 2m = 0 \) có nghiệm: \( m \in \left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right] \)
- Để phương trình \( 2\sin x + m = 0 \) có nghiệm: \( m \in [-2, 2] \)