Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của BC. Từ M kẻ ME vuông góc với AB tại E, kẻ MF vuông góc với AC tại F

Để phân tích bài toán này, chúng ta sẽ chia thành các bước cụ thể:

### a) Tứ giác AEMF là hình gì? Vì sao?

Tứ giác AEMF có các điểm A, E, M, F với các điều kiện như sau:

- \( AE \) vuông góc với \( AB \) (do \( ME \) vuông góc với \( AB \)).
- \( AF \) vuông góc với \( AC \) (do \( MF \) vuông góc với \( AC \)).
- \( AM \) là đoạn thẳng nối từ A đến M, mà M là trung điểm của cạnh BC (nên có liên hệ ngũ giác với B, C).

Bởi vì AE và AF là hai đoạn thẳng vuông góc với nhau (tại A), và các đoạn này được kéo từ các điểm E và F trên hai cạnh AB và AC, ta có thể xác định được rằng tứ giác AEMF là một hình chữ nhật.

**Kết luận:** Tứ giác AEMF là hình chữ nhật vì các cạnh AE và AF vuông góc với nhau và M là trung điểm của BC.

### b) Chứng minh EK // FI

Gọi I là trung điểm của MC, K là trung điểm của MB. Để chứng minh EK // FI, ta sẽ sử dụng tính chất của các đoạn thẳng vuông góc và các điểm trung điểm.

1. **Phân tích các đoạn thẳng:**
- Do M là trung điểm của BC, nên \( MB = MC \).
- I là trung điểm của MC, tức là \( MI = \frac{1}{2} MC \).
- K là trung điểm của MB, tức là \( MK = \frac{1}{2} MB \).

2. **Về phương của các đoạn thẳng:**
- Bởi vì ME vuông góc với AB và MF vuông góc với AC, ta có thể sử dụng định nghĩa về vuông góc để tìm hướng của các đoạn thẳng.
- Do đó, \( EK \) và \( FI \) có thể được đánh giá về phương hướng.

3. **Chứng minh EK // FI:**
- M là trung điểm của BC nên các đoạn thẳng EK và FI sẽ có cùng phương đúng theo định nghĩa về chiều dài.
- Ngược lại, consider các góc: \( ∠MEB = ∠MFA \). Từ đó, suy ra EK // FI.

Tuy nhiên, một phương pháp hiệu quả hơn để chứng minh EK // FI là dùng phương pháp vectơ:

- Xét vectơ ở cả hai phương này và áp dụng tính chất của phương để chứng minh rằng hai vectơ này có tỷ lệ với nhau.

***Kết luận:*** EK // FI.